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A. STUDIO DI FUNZIONI IMPLICITAMENTE DEFINITE 183
Se ∂xf(x0, y0) = 0 e ∂yf(x0, y0) = 0, allora in un intorno di (x0, y0) non esiste una esplicitazione
x = ϕ(y).
Se entrambe le derivate parziali sono nulle, non si può dire alcunché.
Ricordando che all’ inizio di tutta la discussione è stata fatta l’ipotesi f ∈ C1 , si ha che tutte le
funzioni implicitamente definite, laddove esse esistono, sono sempre di classe C1 .
(8) Massimi e minimi vincolati a Γ: viene assegnata una funzione F : R2 → R di classe C1 (R2 ), e si chiede
di determinare massimi e minimi di F vincolati a Γ. In questi casi lo strumento principale è il teorema
dei moltiplicatori di Lagrange: si cercano le soluzioni (¯x, ¯y) del sistema dipendente da λ:
⎧
⎪⎨ ∂x(F (x, y) + λf(x, y)) = 0,
∂y(F (x, y) + λf(x, y)) = 0,
⎪⎩
f(x, y) = 0.
Valutando F tra tutte le soluzioni del sistema, si possono poi distinguere massimi e minimi assoluti.
Ricordiamo che se Γ è compatto, esisteranno sempre almeno un punto di minimo e uno di massimo
assoluto di F vincolata a Γ
(9) Casi notevoli di massimi e minimi vincolati a Γ: se Γ ammette una parametrizzazione del tipo ρ(θ) =
h(θ), allora è possibile costruire la funzione di una sola variabile
˜F (θ) = F (ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sin θ)
con θ ∈ A := {θ ∈ [0, 2π] : h(θ) ≥ 0}. Massimi e minimi di F vincolati a Γ sono massimi e minimi di
˜F sull’insieme A. Tali massimi e minimi possono essere trovati imponendo ˜ F ′ (θ) = 0 e studiando il
segno di ˜ F ′′ (θ) o delle derivate successive.
Importante: non dimenticare che si sta studiando ˜ F ristretta all’insieme A. Lo studio
delle derivate, permette di determinare estremali nell’interno di A. I punti di frontiera di
A vanno studiati separatamente. Inoltre se (0, 0) ∈ Γ ma h(θ) = 0 per ogni θ ∈ A, anche
l’origine va studiata a parte.
Se Γ ammette una parametrizzazione rispetto a rette per l’origine y = mx, ovvero è possibile esplicitare
globalmente x da f(x, mx) = 0 ottenendo x = k(m), y = mk(m), allora allora è possibile costruire la
funzione di una sola variabile
¯F (m) = F (k(m), mk(m))
e studiarne i massimi e i minimi mediante le derivate successive.
Importante: se la funzione k(m) è definita su un dominio K, mediante le derivate si
troveranno i massimi e minimi interni a K. I punti di frontiera di K vanno studiati separatamente.
Inoltre se si sceglie la parametrizzazione y = mx si stanno escludendo i punti di
Γ ∩ {(0, y) : y ∈ R}, ovvero le intersezioni di Γ con l’asse delle ordinate. Tali punti vanno
determinati e studiati separatamente.
Un discorso perfettamente analogo al precedente si ha per parametrizzazioni x = my, in tal caso vanno
studiati a parte i punti di intersezione di Γ con l’asse delle ascisse.
(10) Molteplicità delle funzioni implicitamente definite: dato x0 ∈ R, può essere richiesto il numero di
funzioni ϕi = ϕi(x) implicitamente definite da Γ in un intorno di x0. In tal caso è necessario studiare
le soluzioni di f(x0, y) = 0 nell’incognita y. Il numero di soluzioni distinte yλ di tale equazione fornisce
il numero delle funzioni implicitamente definite da Γ in un intorno di x0 se in ∂yf(x0, yλ) = 0 per
ogni λ. Spesso questa è la parte meno agevole dello studio. Se f(x0, y) è un polinomio px0(y), si può
stimare il numero di soluzioni in modo indiretto: se il polinomio ha grado dispari, allora i suoi limiti
per y → ±∞ sono infiniti di segno opposto, quindi esiste sempre almeno un punto y in cui px0(y) = 0, e
il numero massimo di soluzioni è dato dal grado del polinomio. Ulteriori considerazioni possono essere
fatte studiando eventuali massimi e minimi relativi di px0
e se tali massimi o minimi sono positivi
o negativi, e se vengono assunti in punti y maggiori o minori di zero e poi applicando il teorema di
esistenza degli zeri. Può essere necessario inoltre stimare la posizione delle radici del polinomio rispetto
a particolari funzioni di x0 (quelle che si ottengono da ∂yf(x0, y) = 0 oppure ∂xf(x0, y) = 0). In questo
studio, è fondamentale l’analisi delle simmetrie di Γ. Possono anche essere utili varie sostituzioni per
ridurre il grado di px0. Se è disponibile per Γ una parametrizzazione ρ(θ) = h(θ), θ ∈ A si può cercare
di studiare i massimi e minimi di x(θ) = ρ(θ) cos θ e y(θ) = ρ(θ) sin θ, θ ∈ A ovvero i massimi e i minimi
assoluti e relativi di x e y vincolati a Γ (non dimenticarsi dei punti di frontiera di A). Analogamente