pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

10. MASSIMI E MINIMI PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - CONTINUAZIONE 43
Studiamo quindi la funzione g. Scelta la curva γ(t) = (0, t) si ha che lim
t→∞ g ◦ γ(t) = +∞, quindi g non
ammette massimo assoluto, e quindi nemmeno f ammette massimo assoluto.
Si ha
g(x, y) =
x + 3
2 y2
2 − 1
4 y4
Scegliamo quindi la curva γ(t) = (−3/2t2 , t) e osserviamo che lim g ◦ γ(t) = lim −t
t→∞ t→∞ 4 /4 = −∞,
pertanto g non ammette minimo assoluto e quindi nemmeno f.
Studiamo i punti critici di g: le derivate parziali sono
∂xg(x, y) = 2x + 3y 2 , ∂yg(x, y) = 6xy + 8y 3 = 2y(3x + 4y 2 )
La derivata prima rispetto ad y si annulla per y = 0, in tal caso la derivata prima rispetto alla x si
annulla per x = 0. Se y = 0, la derivata prima rispetto ad y si annulla per x = −4y 2 /3, sotituendo
nella derivata prima rispetto alla x si ottiene −8y 2 /3 + 3y 2 = 0 da cui (−8/3 + 3)y 2 = 0 che non
ammette soluzioni non nulle. Quindi l’unico punto critico è l’origine e g(0, 0) = 0. Fissato un intorno
V dell’origine, consideriamo la curva γ(t) = (−3/2t 2 , t) e osserviamo che per t > 0 sufficientemente
piccolo si ha γ(t) ∈ V . Proviamo questo fatto: esiste ε > 0 tale per cui B((0, 0), ε) ⊆ V per definizione
di intorno, d’altra parte si ha |γ(t)| = 9/4t 4 + t 2 che tende a zero per t → 0, pertanto esiste δ > 0
tale per cui se |t| < δ si ha |γ(t)| < ε e quindi γ(t) ∈ B((0, 0), ε) ⊆ V .
Ma allora g ◦ γ(t) = −t 4 /4 < 0 = f(0, 0) per ogni t ∈]0, δ[ pertanto ogni intorno di 0 contiene punti
dove g è minore di g(0, 0). D’altra parte scelta la curva γ2(t) = (t, 0) si ha che per t sufficientemente
piccolo γ(t) appartiene ancora a V (stesso ragionamento precedente) e g ◦ γ(t) = t 2 > 0 = g(0, 0) per
ogni t = 0. Quindi in ogni intorno di (0, 0) esistono sia punti in cui g è maggiore di g(0, 0), sia punti
dove g è minore di g(0, 0). Quindi (0, 0) è di sella per g e quindi per f.
Sebbene non indispensabile, osserviamo a margine che (0, 0) non è l’unico punto critico di f, perché
la funzione h ammette come punto critico 0, quindi tutti i punti (x, y) con g(x, y) = 0 sono critici
per f. Tuttavia essi non sono massimi o minimi relativi per f, altrimenti per la stretta monotonia, lo
dovrebbero essere per g ma l’unico punto critico di g è (0, 0) che è di sella.
(2) Se n è pari, la funzione h(s) è sempre non negativa e raggiunge il suo minimo assoluto per s = 0,
quindi i punti x 2 + 3xy 2 + y 4 = 0 sono tutti punti di minimo assoluto e in essi f vale 0. Con lo
stesso ragionamento precedente, si ha che non esistono punti di massimo assoluti. Inoltre si ha che
la restrizione di h a ciascuno degli insiemi [0, +∞[ e ] − ∞, 0] è strettamente monotona L’insieme
G + := {(x, y) : x 2 + 3xy 2 + y 4 > 0} è aperto perché g è continua. In esso non vi sono estremali relativi
per f: infatti, se vi fossero, sarebbero estremali di g perché g(G + ) ⊆]0, +∞[ e h su tale insieme è
strettamente monotona. Tuttavia come già visto g ammette come unico punto critico (0, 0) /∈ G + .
Analogamente, non vi sono estremali relativi di g e quindi di f su G − := {(x, y) : x 2 + 3xy 2 + y 4 < 0}.
Pertanto gli unici estremali di f in questo caso sono i punti di minimo assoluto x 2 + 3xy 2 + y 4 = 0 e
in essi f vale 0.
Esercizio 10.4. Si studi la natura del punto (0, 0) per la funzione f : R 2 → R definita da
f(x, y) = log(1 + x 2 ) − x 2 + xy 2 + y 3 + 2.
Svolgimento. Osserviamo che f(0, 0) = 2. Il punto (0, 0) è un punto critico: ∂xf(0, 0) = ∂yf(0, 0) = 0.
Consideriamo la curva γ(t) = (0, t). Si ha per t = 0 che f ◦ γ(t) = t3 + 2. Fissato un intorno dell’origine, per
|t| sufficientemente piccolo, si ha che γ1(t) appartiene tale intorno: infatti lim γ(t) = (0, 0). Inoltre per t > 0 si
t→0
ha f ◦ γ(t) > 2 = f(0, 0) e f ◦ γ(t) < 2 = f(0, 0) per t < 0. Pertanto (0, 0) è di sella.
Esercizio 10.5. Si determinino gli eventuali punti di massimo e minimo assoluto per le funzioni f, g : R 3 →
R definite da
f(x, y, z) = x 2 (y − 1) 3 (z + 2) 2 , g(x, y, z) = 1/x + 1/y + 1/z + xyz.
Svolgimento. Consideriamo la curva γ(t) = (1, t, 1). Si ha f ◦ γ1(t) = 9(t − 1) 3 , pertanto per t → ±∞ il
limite di f ◦ γ1(t) è ±∞, quindi non esistono massimi o minimi assoluti.
In modo analogo, g ◦ γ1 = 2 + 1/t + t pertanto per t → ±∞ il limite di g ◦ γ1(t) è ±∞, quindi non esistono
massimi o minimi assoluti.