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14. TEOREMA DELLA FUNZIONE IMPLICITA E INVERSA - CONTINUAZIONE 57
2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5
Figura 1. Il folium di Cartesio e il suo asintoto.
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
in quanto ϕ4(x) ≥ √ x. Quindi ϕ3 è di classe C1 , e poiché non ha punti in ]0, 3√ 2[ a tangente verticale, si
ha che ϕ 3
4|]0, √ 2[ non ha punti a tangente orizzontale, quindi la sua derivata è sempre strettamente positiva.
Ma allora anche la derivata di ϕ3 è sempre strettamente positiva. La disuguaglianza ϕ4(x) ≥ √ x
implica anche che la tangente nell’origine al grafico di ϕ4 sia verticale, e quindi la tangente nell’origine
al grafico di ϕ3 è orizzontale, perciò limx→0 + ϕ ′ 3(x) = 0. Rimane da studiare il comportamento di ϕ4
in ] 3√ 2, 3√ 4[. ∂xf(x, ϕ4(x)) = 3x2 − 3ϕ4(x) > 0 se x ∈] 3√ 2, 3√ 4[, in quanto si ha ϕ4(x) < 3√ 4, pertanto
ϕ4 è strettamente decrescente in questo intervallo.
(5) Si ha che ( 3√ 4, y) ∈ Γ se e solo se ϕ1(y) = 3√ 4, y < 0 oppure y = 3√ 2. Ricordando che ∂yf(x, y) =
−3x + 3y2 , si ha che il Teorema di Dini non è applicabile in ( 3√ 4, 3√ 2).
Osserviamo infine che è possibile definire una funzione ϕ5 :] − ∞, 3√ 4[→ [0, +∞[ ponendo ϕ5(x) = ϕ1(x) se
x ≤ 0 e ϕ5(x) = ϕ3(x) se 0 ≤ x < 3√ 4. Tale funzione è di classe C 1 , ϕ ′ 5(0) = 0 e quindi in 0 ha un minimo
assoluto che vale 0. Lo studio è completo.
Esercizio 14.2. Si disegni l’insieme
Γ = {(x, y) ∈ R 2 : x 4 − 4xy + y 4 = 0}.
Svolgimento. Poniamo f(x, y) = x 4 − 4xy + y 4 . Si ha f(x, y) = f(y, x) = f(−x, −y) quindi l’insieme Γ
è simmetrico rispetto all’origine e alla bisettrice y = x. Si ha inoltre (0, 0) ∈ Γ. Passiamo in coordinate polari
x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, ottenendo ρ 2 (ρ 2 cos 4 θ − 4 cos θ sin θ + ρ 2 sin 4 θ) = 0, pertanto se ρ = 0 si ottiene
ρ 2 4 cos θ sin θ
=
cos4 θ + sin 4 θ
Questa uguaglianza implica che cos θ sin θ > 0, quindi l’insieme Γ appartiene al primo e terzo quadrante.
Poniamo
ρ(θ) =
4 cos θ sin θ
cos 4 θ + sin 4 θ
Studiamo massimi e minimi di cos4 θ+sin 4 θ. Ciò equivale a studiare i massimi di x4 +y4 vincolati a x2 +y2 = 1,
poiché tale vincolo è compatto, x4 + y4 ammette massimo e minimo assoluti su tale curva, e il minimo è
strettamente maggiore di zero. In particolare, ciò implica che ρ è limitato, quindi l’insieme Γ è compatto.
Si è già visto come ρ raggiunga il suo minimo in 0, perché (0, 0) ∈ Γ, inoltre limθ→0 + ρ(θ) = 0, per simmetria si
ricava
lim ρ(θ) = lim ρ(θ) = lim ρ(θ) = lim ρ(θ) = 0
θ→0 + θ→π/2− θ→π + θ→3/2π− Calcoliamo ora i massimi di y 2 vincolati a Γ, ovvero i massimi di ρ 2 (θ) sin 2 θ, supponendo θ = 0, π/2, π, 3/2π
(infatti per tali valori si ha y = 0), per simmetria supponiamo 0 < θ < π/2.
f1(θ) = ρ 2 (θ) sin 2 θ = 4 cos θ sin3 θ
cos 4 θ + sin 4 θ = 4 tan3 θ
1 + tan 4 θ .