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G. SISTEMI 2 × 2 DI EQUAZIONI ORDINARIE LINEARI DEL PRIMO ORDINE 217
costanti. Si ottiene quindi, ricordando la prima equazione,
⎧
⎪⎨
x(t) = Φ(c1, c2, t) + xp(t)
⎪⎩ y(t) = 1
1 d
( ˙x − ax − f(t)) =
b b dt Φ(c1, c2, t) + x ′
p(t) − a(Φ(c1, c2, t) + xp(t)) − f(t) .
(4) Discussione della stabilità delle soluzioni stazionare dell’omogeneo associato: Le soluzioni
stazionarie sono determinate dall’equazione
x
A = 0.
y
Vi sono due casi possibili: se det A = 0, l’unica soluzione stazionaria è x = y = 0, mentre se det A = 0,
le soluzioni stazionarie sono tutte le coppie (x, y) soddisfacenti l’equazione ax + by = 0, infatti se
det A = 0 le due righe sono linearmente dipendenti, pertanto possiamo scegliere la prima. La stabilità
delle soluzioni stazionarie dipende dal segno della parte reale degli autovalori λ1 e λ2. In particolare,
si ha che:
(a) Se λ1 = λ2 sono reali strettamente negativi, allora le soluzioni stazionarie sono nodi propri stabili.
(b) Se λ1 = λ2 sono reali strettamente positivi, allora le soluzioni stazionarie sono nodi propri instabili.
(c) Se λ1 = λ2 sono reali non nulli di segno discorde, allora le soluzioni stazionarie sono selle locali.
(d) Se λ1 = λ2 = λ è reale strettamente positivo, abbiamo un nodo improprio instabile.
(e) Se λ1 = λ2 = λ è reale strettamente negativo, abbiamo un nodo improprio stabile.
(f) Se λ1 = α + iβ e λ2 = α − iβ con α > 0 si ha un fuoco instabile,
(g) Se λ1 = α + iβ e λ2 = α − iβ con α < 0 si ha un fuoco stabile,
(h) Se λ1 = iβ e λ2 = −iβ si ha un centro.
(i) Se uno degli autovalori è nullo, l’altro è reale. Se questi è strettamente positivo la soluzione
stazionaria è instabile, se è strettamente negativo la soluzione stazionaria è stabile.
(j) Se entrambi gli autovalori sono nulli, allora si ha a = b = c = d = 0, le soluzioni sono tutte e sole
le costanti e sono stabili.