pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

20 6. SUCCESSIONI E CONVERGENZA UNIFORME
s ≥ 0. A questo punto, poniamo s = ht e utilizziamo questo fatto per ottenere
|fn(y) − fn(x)| ≤
n
1
e −xt (1 − e −ht )
1 + t 2
dt ≤
n
1
e−xtht dt = h
1 + t2 n
1
e−xtt dt
1 + t2 Dato che x, n sono fissati, la funzione integranda è una funzione continua come funzione di t nell’intervallo
limitato [1, n], pertanto assume il suo massimo M = M(x) nell’intervallo [1, n], quindi
|fn(y) − fn(x)| ≤ h
n
1
e−xtt dt ≤ h
1 + t2 n
1
M dt = hM(n − 1)
Il termine di destra tende a zero per h → 0 + .
(2) Supponiamo ora che h < 0. Si ha che |e −ht − 1| = e −ht − 1 = e |h|t − 1 perché h < 0 e t > 0 quindi
e −ht > 1 Si ha che
e
lim
|h|t→0
|h|t − 1
= 1 < 2,
|h|t
e quindi per |h|t sufficientemente piccolo si ha e |h|t − 1 < 2|h|t, utilizziamo questo fatto per ottenere
|fn(y) − fn(x)| ≤
n
1
e −xt |e −ht − 1|
1 + t 2
dt ≤
n
1
e−xt2|h|t dt = 2|h|
1 + t2 n
1
e−xtt dt
1 + t2 ed esattamente come prima si ottiene che il termine di destra tende a zero per h → 0 − .
Quindi si ha in entrambi i casi lim
h→0 |fn(x + h) − fn(x)| = 0, e quindi le funzioni fn sono tutte continue.
Studiamo ora la convergenza puntuale. Fissiamo x ∈ R. La funzione integranda che compare nella definizione
delle fn è positiva, pertanto il suo integrale su [1, n] è minore del suo integrale su [1, n + 1], quindi la successione
{fn(x)}n∈N è monotona crescente per ogni x fissato. Andiamo a distinguere due casi:
(1) Se x < 0 la funzione t ↦→ e−xt
1 + t2 tende a +∞ se t → ∞, in particolare esiste ¯t > 1 tale che e−xt
> 1.
1 + t2 Ma allora si ha per n > ¯t:
|fn(x)| = fn(x) =
≥
¯t
1
n
1
e−xt dt +
1 + t2 e−xt dt =
1 + t2 n
¯t
1 dt =
¯t
1
¯t
1
e−xt dt +
1 + t2 n
¯t
e−xt dt
1 + t2 e −xt
1 + t 2 dt + (n − ¯t).
L’ultimo termine diverge a +∞ per n → +∞, quindi fn(x) non converge puntualmente se x < 0.
(2) Se x < 0, osserviamo che e−xt ≤ 1, pertanto
fn(x) ≤
n
1
1
π π π π
dt = arctan n − ≤ − =
1 + t2 4 2 4 4 ,
quindi la successione fn(x) è monotona crescente e superiormente limitata, pertanto essa ammette
limite.
Si ha dunque convergenza puntuale solo per x ∈ [0, +∞[. Indichiamo con
f(x) =
∞
1
e−xt dt
1 + t2 il limite puntuale delle funzioni fn.
E’ ovvio che in nessun sottoinsieme di R che non sia contenuto in [0, +∞[ può esservi convergenza uniforme:
infatti nei sottoinsiemi dove vi fosse convergenza uniforme necessariamente deve esserci convergenza puntuale.
Studiamo la convergenza uniforme in tutto [0, +∞[:
|f(x) − fn(x)| = |
∞
1
e−xt dt −
1 + t2 n
1
e−xt ∞
e
dt| =
1 + t2 n
−xt π
dt ≤ − arctan n,
1 + t2 2
dove si è levato il modulo perché fn(x) ≤ f(x) per ogni x, in quanto la successione è monotona e si è sfruttato
il fatto che eα < 1 se α < 0. Si ha allora:
sup |f(x) − fn(x)| ≤
x∈[0,+∞[
π
− arctan n,
2