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168 32. MISCELLANEA DI ESERCIZI SUPPLEMENTARI
(5) Si studino i punti di massimo e minimo vincolato per la funzione f(x, y, z) = x2 + cos(y), sull’insieme
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + ez2 ≤ 10}.
(6) Si studino i punti di massimo e minimo vincolato per la funzione f(x, y, z) = y √ 1 + z2 sull’insieme
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − 2x + y2 + z2 ≤ 3}.
(7) Si studino i punti di massimo e minimo vincolato per la funzione f(x, y, z) = (1 + x2 )ez2 sull’insieme
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y4 − 2y2 + z2 ≤ 0}.
(8) Quanti sono i punti di minimo relativo di f(x, y) = cos2 (x) + y3 − 3y2 appartenenti all’insieme Q =
{(x, y) ∈ R2 : −π < x < 2π, |y| < 3π}?
(9) Si studino, al variare di a ∈ R i punti di massimo e minimo vincolato per la funzione fa(x, y, z) =
x + ax2 − cos(y) + z2ex sull’insieme C = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 2, −π ≤ y ≤ π, −1 ≤ z ≤ 1}.
(10) Si studino, al variare di a ∈ R i punti di massimo e minimo vincolato per la funzione fa(x, y, z) =
a cos(z)+y2 e + sin 2 (x) sull’insieme C = {(x, y, z) ∈ R3 : |y| ≤ 1}.
Esercizio 32.5 (integrali multipli).
(1) Calcolare l’integrale doppio x2 + y2 dx dy esteso al dominio D dove D è la semicorona circolare
D
di ordinate non negative che ha centro nell’origine e raggi 2 e 3
x (2) Calcolare l’integrale doppio D
2
x2 +y2 dx dy dove D è il triangolo che ha per lati le rette di equazioni
y = x, y = −x, x = 1
(3) Calcolare il seguente integrale doppio esteso a D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}:
y
1 + xy dxdy
D
(4) Calcolare il seguente integrale doppio esteso a D = B((0, 0), 3) \ B((0, 0), 2) ∩ {y ≥ 0}:
x2 + y2 dxdy
D
(5) Calcolare il seguente integrale doppio esteso a D = B((1, 0), 1) \ B((0, 0), 1) ∩ {y ≥ 0}:
x 2 + y 2 dxdy
(6) Calcolare il seguente integrale doppio:
D
D
x sin |y − 2x| dx dy
essendo D il triangolo avente i vertici nei punti (0, 0), (1, 0), (0, 1)
(7) Sia D il quadrato 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Calcolare l’integrale:
D
1
x + y dxdy
(8) Calcolare l’integrale:
R2 1
(1 + x2 )(1 + y2 ) dxdy
(9) Calcolare il seguete integrale triplo:
z 1 − y2 dx dy dz,
T
dove T è il cilindro circolare retto di altezza 1 che ha per asse l’asse z e per base il cerchio di raggio 1
centrato nell’origin.
(10) Calcolare il seguente integrale triplo:
T
xz 3 dx dy dz,
dove T è il solido contenuto nel primo ottante e limitato dalle superfici di equazioni y = 4x2 + 9z2 e
y = 1
(11) Calcolare il seguente integrale triplo:
e (x2 +y 2 +z 2 ) 3/2
dx dy dz,
dove T è il dominio 4x 2 + y 2 + z 2 ≤ r 2 .
T