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32. MISCELLANEA DI ESERCIZI SUPPLEMENTARI 173
Svolgimento. Posto ϕ(t, s) = (s cos t, t, s sin t), calcoliamo la matrice Jacobiana della parametrizzazione:
⎛
⎞
−s sin t cos t
Jac ϕ = ⎝ 1 0 ⎠ .
s cos t sin t
Per la regola di Binet, per trovare l’elemento di superficie 2-dimensionale dobbiamo considerare tutti i minori
di ordine 2, e sommarne i quadrati dei determinanti estraendo la radice.
ω2(∂tϕ, ∂sϕ) = det 2
−s sin t cos t
+ det
1 0
2
−s sin t cos t
s cos t sin t
+ det 2
1
s cos t
0
sin t
= 1 + s 2
Pertanto l’integrale richiesto vale:
π
fdσ =
S
2
0 1
π 2
f ◦ ϕ(t, s)ω2(∂tϕ, ∂sϕ) ds dt
= ts sin t
0 1
1 + s2
ds dt = 1
2
= π
3 (5√5 − 2 √ 2).
π
0
t sin t dt ·
4
1
√ 1 + w dw
Esercizio 32.14. Sia D = {(u, v) ∈ R2 : u2 + v2 < 1} e sia S ⊂ R3 la superficie parametrizzata da
ϕ : D → R3 , ϕ(u, v) = (u + v, u − v, u2 + v2 ). Calcolare l’integrale di superficie
(x 2 + y 2 ) √ 1 + 2z dσ.
Svolgimento. Calcoliamo la matrice Jacobiana della parametrizzazione:
⎛ ⎞
1 1
Jac ϕ = ⎝ 1 −1 ⎠ .
2u 2v
S
Per la regola di Binet, per trovare l’elemento di superficie 2-dimensionale dobbiamo considerare tutti i minori
di ordine 2, e sommarne i quadrati dei determinanti estraendo la radice.
ω2(∂uϕ, ∂vϕ) = det 2
1 1
+ det
1 −1
2
1 1
+ det
2u 2v
2
1
2u
−1
2v
= 4 + (2v − 2u) 2 + (2v + 2u) 2 = 2 1 + u 2 + v 2
Pertanto l’integrale richiesto vale:
(u + v)
D
2 + (u − v) 2
1 + 2(u2 + v2 ) 2 1 + u2 + v2 dudv
= 4 (u 2 + v 2 ) 1 + 2(u2 + v2 ) 1 + (u2 + v2 ) dudv
= 4
(w = ρ 2 ) = 4π
= 4π
D
2π 1
0
1
0
1
0
0
ρ 2 1 + 2ρ 2 1 + ρ 2 ρ dρdθ
w (1 + 2w)(1 + w) dw
w 2w 2 + 3w + 1 dw
= 4π(44 + 132 √ 6 − 9 √ 2 log(3 + 2 √ 2) + 9 √ 2 log(7 + 4 √ 3)),
dove si è sfruttato il fatto che una primitiva di √ s 2 + 1 è data da 1/2(y 1 + y 2 + log(z + √ 1 + z 2 )).
Esercizio 32.15. Per ogni a ≥ 0 si consideri in R 3 la superficie Sa di equazioni parametriche:
ϕ(θ, y) = ( y 2 + a 2 cos θ, y, y 2 + a 2 sin θ), θ ∈ [0, 2π], |y| < 1,
e il campo vettoriale F : R 3 → R 3 definito da F (x, y, z) = (x 2 , y/2, x).