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CAPITOLO 21
Lezione del giorno martedì 15 dicembre 2009 (1 ora)
Integrali curvilinei, Teorema di Stokes, Formule di Gauss-Green -
continuazione
Esercizio 21.1. Data la superficie Σ ⊂ R 3 parametrizzata da
ϕ(θ, z) = ( 1 + 2z 2 cos θ, 1 + 2z 2 sin θ, z), |θ| ≤ π/4, |z| ≤ 1,
si calcoli il flusso del campo vettoriale
F (x, y, z) = (1/ 1 + 2z 2 , 1/ 1 + 2z 2 , x 2 + y 2 )
attraverso Σ, orientata in modo che nel punto (1, 0, 0) il versore normale coincida con (−1, 0, 0).
Svolgimento. Calcoliamo la divergenza di F = (F1, F2, F3):
div F (x, y, z) = ∂F1
∂x
+ ∂F2
∂y
+ ∂F3
∂z
Il campo F è quindi solenoidale: per il teorema della divergenza, il flusso attraverso una qualunque superficie
chiusa è nullo. Vogliamo determinare una superficie ausiliaria S tale che S ∪ Σ sia una superficie chiusa
delimitante il volume C. Osserviamo che la superficie data è la superficie di rotazione ottenuta ruotando per
θ ∈ [−π/4, π/4] attorno all’asse z la curva γ di equazione x = √ 1 + 2z 2 contenuta nel piano y = 0.
La superficie Σ e la curva γ.
Definiamo quindi le superfici ausiliarie nel modo seguente:
a) S + sia la superficie di rotazione ottenuta ruotando per θ ∈ [−π/4, π/4] il segmento di estremi (0, 0, 1)
e ( √ 2, 0, 1) giacente nel piano y = 0 attorno all’asse z,
= 0.
S + = {(r cos θ, r sin θ, 1) ∈ R 3 : 0 ≤ r ≤ √ 2, |θ| ≤ π/4}
la sua normale esterna rispetto a C sarà (0, 0, 1);
b) S − sia la superficie di rotazione ottenuta ruotando per θ ∈ [−π/4, π/4] il segmento di estremi (0, 0, −1)
e ( √ 2, 0, −1) giacente nel piano y = 0 attorno all’asse z, la sua normale esterna rispetto a C sarà
(0, 0, 1);
S − = {(r cos θ, r sin θ, 1) ∈ R 3 : 0 ≤ r ≤ √ 2, |θ| ≤ π/4}
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