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92 19. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA DI STOKES, FORMULE DI GAUSS-GREEN - CONTINUAZIONE
Per stabilire se ˆn = ∇G = ((∇G)1, (∇G)2, (∇G)3) o ˆn = −∇G, è necessario verificare l’orientamento della
superficie calcolando
⎛
∂φ1 ∂φ2 ∂φ3
⎞
⎜
det ⎜
⎝
∂x
∂φ1
∂y
∂x
∂φ2
∂y
∂x
∂φ3
∂y
⎟ ⎛
⎟ 1
⎟ = det ⎝ 0
⎟ 2x
⎠
0
1
2y
−2x
−2y
1
⎞
⎠ = 4y 2 + 4x 2 > 0
(∇G)1 (∇G)2 (∇G)3
Poiché il determinante è positivo, si ha ˆn = ∇G(x, y) = (2x, 2y, 1). Calcoliamo ora il rotore di F .
⎛
⎞ ⎛
i j k
i j k
rotF = det ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ = det ⎝ ∂x
y
∂y ∂z
2 ⎞
0 x − y
⎠ = (−1, −1, −2y)
F1 F2 F3
Pertanto per quanto riguarda il flusso richiesto si ha:
rotF · ˆn dσ = (−1, −1, −2y) · (2x, 2y, 1) dxdy = −
S
Passando in coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ, si ottiene:
1 π/2
rotF · ˆn dσ = − 2r(cos θ + 2 sin θ) r dθ dr = −
S
0
Calcoliamo ora il flusso utilizzando il teorema di Stokes:
rotF · ˆn dσ =
0
D
S
+∂S
1
0
F dγ.
2r 2 dr ·
D
π/2
0
2x + 4y dxdy
(cos θ − 2 sin θ) dθ = 2
3 .
Parametrizziamo il bordo di D in senso antiorario: esso è dato da γ1(θ) = (cos θ, sin θ) per −π/2 < θ < 0,
γ2(t) = (1 − t, 0) per 0 < t < 1 e γ3(s) = (0, −s) per 0 < s < 1. Il bordo di S orientato in senso positivo sarà
allora l’immagine delle tre curve γ1, γ2, γ3 mediante la parametrizzazione φ di S:
Pertanto si avrà:
dove:
φ◦γ1
φ◦γ2
φ◦γ3
F dγ =
φ ◦ γ1(θ) = (cos θ, sin θ, 1 − cos 2 θ − sin 2 θ) = (cos θ, sin θ, 0);
φ ◦ γ2(t) = (1 − t, 0, 1 − (1 − t) 2 ) = (1 − t, 0, 2t − t 2 );
φ ◦ γ3(s) = (0, −s, 1 − s 2 ).
=
F dγ =
F dγ =
0
+∂S
−π/2
π/2
0
w=cos θ
= 1 −
1
0
1
0
F dγ =
φ◦γ1
F dγ +
φ◦γ2
F dγ +
φ◦γ3
F dγ
(sin 2 0
θ, 0, cos θ − sin θ) · (− sin θ, cos θ, 0) dθ = −
sin 3 θ dθ =
0
1
π/2
0
−w 2 dw = 2
3
(0, 0, 1 − t) · (−1, 0, 2 − 2t) dt =
(−s 2 , 0, s) · (0, −1, −2s) dt =
Sommando i tre contributi si ottiene:
rotF · ˆn dσ =
S
sin θ(1 − cos 2 θ) dθ = 1 −
+∂S
che verifica così il calcolo diretto svolto in precedenza.
1
0
1
0
π/2
0
2(1 − t) 2 dt = 2
3 .
−2s 2 dt = − 2
3 .
F dγ = 2 2 2 2
+ − =
3 3 3 3 ,
−π/2
sin 3 θ dθ
cos 2 θ sin θ dθ