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184 A. STUDIO DI FUNZIONI IMPLICITAMENTE DEFINITE nel caso di parametrizzazioni con rette passanti per l’origine y = mx, si possono studiare massimi e minimi assoluti e relativi di x = k(m) e y = mk(m) (anche qui senza dimenticarsi le avvertenze per lo studio di massimi e minimi con tale parametrizzazione). (11) Grafico qualitativo: i dati raccolti in tutti i punti precedenti portano al grafico qualitativo di Γ.
APPENDICE B Esercizi su flussi, circuitazioni, teorema di Stokes e affini Tutto scorre, non si può tornare due volte nello stesso fiume. Eraclito. In questi esercizi gli ingredienti fondamentali sono: una superficie parametrizzata da ϕ : I × J → R 3 dove I, J sono intervalli di R e uno o più campi vettoriali F , G : R 3 × R 3 . Le variabili di ϕ saranno indicate con u ∈ I e v ∈ J, e le componenti di ϕ saranno indicate con ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) e quelle di F con F = (F1, F2, F3). Osserviamo che la superficie Σ può essere definita anche implicitamente da un’equazione f(x, y, z) = 0 con ∇f = (0, 0, 0) in ogni punto di Σ. In tal caso, infatti, il Teorema della funzione implicita ci permette di costruire parametrizzazioni di Σ nell’intorno di ogni punto di Σ. Tali parametrizzazioni sono locali ciò significa che potrebbero essere necessarie più parametrizzazioni per descrivere interamente la superficie 1 . Ricordiamo i seguenti fatti salienti: (1) La divergenza di F è il campo scalare div F = ∂F1 ∂F2 + ∂x ∂y (2) Il rotore di F è il campo vettoriale definito da rot F = ∇ × ⎛ ⎞ i j k ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ F = det ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ F1 F2 F3 + ∂F3 ∂z . = i (∂yF3 − ∂zF2) + j (∂zF1 − ∂xF3) + k (∂xF2 − ∂yF1) = (∂yF3 − ∂zF2, ∂zF1 − ∂xF3, ∂xF2 − ∂yF1) . (3) La matrice Jacobiana della parametrizzazione, le cui colonne verranno indicate con ∂uϕ(u, v) e ∂vϕ(u, v) rispettivamente, è la matrice: ⎛ ⎞ Jacϕ(u, v) = ⎝ ∂uϕ1 ∂vϕ1 ∂uϕ2 ∂vϕ2 ∂uϕ3 ∂vϕ3 (4) per calcolare l’elemento d’area o di superficie 2-dimensionale, consideriamo le tre sottomatrici quadrate 2 × 2 di Jac ϕ: ∂uϕ2 B1 = ∂uϕ3 ∂vϕ2 ∂vϕ3 , ∂uϕ1 B2 = ∂uϕ3 ∂vϕ1 ∂vϕ3 , ∂uϕ1 B3 = ∂uϕ2 ∂vϕ1 ∂vϕ2 e per il teorema di Binet si ha che l’elemento d’area è: dσ = det 2 B1 + det 2 B2 + det 2 B3 du dv 1 Ad esempio, nel caso di Σ superficie sferica unitaria di R 3 data da x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0, si ha f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − 1 e ∇f(x, y, z) = 2(x, y, z). Si ha ∇f(x, y, z) = (0, 0, 0) solo se (x, y, z) = (0, 0, 0), ma (0, 0, 0) /∈ Σ perché f(0, 0, 0) = −1 = 0. Quindi nell’intorno di ogni punto di Σ esiste una parametrizzazione locale. Si può mostrare come non esistano parametrizzazioni globali e che il numero minimo di parametrizzazioni per descrivere interamente Σ sia 2. Tra le tante possibili scelte, segnaliamo z = ± 1 − x 2 − y 2 , quindi le due parametrizzazioni ϕ1(u, v) = (u, v, √ 1 − u 2 − v 2 ), ϕ2(u, v) = (u, v, √ 1 − u 2 − v 2 ), entrambe definite sull’insieme u 2 + v 2 ≤ 1. 185 ⎠
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Università di Verona Facoltà di S
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iv INDICE Capitolo 18. Lezione del
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CAPITOLO 1 Lezione del giorno giove
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CAPITOLO 2 Lezione del giorno vener
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2. ALCUNE NOZIONI DI TOPOLOGIA DI R
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10 3. LIMITI DELLE FUNZIONI IN PIÙ
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Tale limite dipende da m > 0, perta
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CAPITOLO 5 Lezione del giorno marte
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6. SUCCESSIONI E CONVERGENZA UNIFOR
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6. SUCCESSIONI E CONVERGENZA UNIFOR
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26 7. SERIE DI FUNZIONI pertanto la
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8. DIFFERENZIALI PER FUNZIONI DI PI
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CAPITOLO 9 Lezione del giorno marte
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9. MASSIMI E MINIMI PER FUNZIONI DI
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42 10. MASSIMI E MINIMI PER FUNZION
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48 12. MASSIMI E MINIMI VINCOLATI P
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CAPITOLO 13 Lezione del giorno mart
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13. TEOREMA DELLA FUNZIONE IMPLICIT
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56 14. TEOREMA DELLA FUNZIONE IMPLI
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B a C. Si ha allora: I = = 1 4−
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68 16. INTEGRALI MULTIPLI - CONTINU
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74 17. PREPARAZIONE ALLA PRIMA PROV
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84 18. INTEGRALI CURVILINEI, FORMUL
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CAPITOLO 19 Lezione del giorno giov
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e d’altra parte: 19. INTEGRALI CU
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19. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA D
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20. PRIMA PROVA IN ITINERE 95 2. Vi
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23. EQUAZIONI TOTALI E EQUAZIONI DI
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25. EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD EQUA
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