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152 29. ESERCIZI RICAPITOLATIVI
(2) secondo metodo: applichiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange
⎧
⎪⎨ ∂x(F (x, y) − λ(x
⎪⎩
2 + y2 − 1)) = 4x x2 + y2 − 2x − 2λx = 0
∂y(F (x, y) − λ(x2 + y2 − 1)) = 4y x2 + y2 + 2y − 2λy = 0
x2 + y2 = 1.
Riscrivendo e utilizzando la terza equazione si ha:
⎧
⎪⎨ 0 = 2(1 − λ)x
0
⎪⎩
1
= 2(3 − λ)y
= x2 + y2 .
Si ottiene x = 0 e quindi y = ±1, oppure y = 0 e x = ±1 oppure λ = 1 il che implica y = 0 e x = ±1
oppure λ = 3 il che implica x = 0 e y = ±1, e ritroviamo esattamente i punti (0, ±1) e (±1, 0) visti in
precedenza. Si ha F (0, ±1) = 2 massimo assoluto e F (±1, 0) = 0 minimo assoluto.
Esercizio 29.3. Al variare di α > 0 studiare la convergenza della serie di funzioni
∞
n=1
Svolgimento. Il termine generale della serie è:
fn(x, y, α) =
xy
n2 .
+ |xy| α
Sia K un compatto di R 2 . Vale la seguente maggiorazione:
xy
n2 .
+ |xy| α
1
|fn(x, y, α)| ≤ max |xy| ·
(x,y)∈K n2 e il massimo è finito perché |xy| è continua e K è compatto. Questa disuguaglianza porge la convergenza totale
sui compatti di R 2 , in particolare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme sui compatti di R 2 .
Poniamo s = |xy| e
Si ha |fn(x, y, α)| = gn(s, α) Calcoliamo
gn(s, α) =
s
n 2 + s α
g ′ n(s, α) = n2 + (1 − α)s α
(n 2 + s α ) 2
per s > 0 tale funzione ammette massimo in ¯sn = n 2/α /(α − 1) 1/α . Quindi
|gn(s, α)| ≤
n 2/α
(α−1) 1/α
n 2 + n2
α−1
= (α − 1)1−1/α
α
n2/α (α − 1)1−1/α 1
=
n2 α n2−2/α Per α > 2 il membro di destra è termine generale di una serie convergente. Quindi si ha convergenza totale e
uniforme su R2 per α > 2.
N Sia ora α < 2 e proviamo che la successione n=1 fn(x,
y, α) non è di Cauchy rispetto alla convergenza
N∈N
uniforme di R2 . Se lo fosse, per ogni ε > 0 esisterebbe N = Nε tale che se N ′ , M ′ ≥ N si dovrebbe avere
M
′
N
fn(x, y, α) −
′
fn(x, y, α)
n=1
n=1
∞
≤ ε.