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APPENDICE F
Altre equazioni ordinarie e metodi di riduzione
mètodo = lat. mèthodus dal gr. methòdos propr. l’andar dietro per
ricercare, per investigare, e quindi la via o il modo della investigazione (onde
methodèyò vado dietro): comp. della partic. metà dopo, e hòdos cammino,
via (v. Esodo).
Modo ordinato e conforme a certi principî, d’investigare, di esporre il vero, di
governarsi nell’operare; più strettamente Modo di operare per ottenere uno
scopo.
Vocabolario etimologico della lingua italiana,
di Ottorino Pianigiani, 1907.
Definizione F.1. Un integrale singolare o di frontiera dell’equazione y ′ = f(x, y) definita su un dominio
A è un integrale la cui corrispondente curva integrale risulti interamente tracciata sulla frontiera di A.
Definizione F.2. L’equazione differenziale F (x, y, y ′ ) = 0 è in forma normale se può essere scritta nella
forma y ′ = f(x, y), altrimenti si dirà in forma non normale.
Definizione F.3 (Vari tipi di equazioni differenziali). Alcuni tipi di equazioni differenziali e tecniche
risolutive:
(1) Equazioni a variabili separabili: Sono le equazioni del primo ordine del tipo ˙y = p(t)q(y) dove
p : I → R, q : J → R sono almeno continue e I, J sono intervalli di R. Se q(y0) = 0 la costante
y(t) = y0 è soluzione, negli altri casi si può dividere per q(y) (almeno finchè q(y(t)) = 0). Con il
cambiamento di variabili η = y(t) si ottiene integrando con la condizione iniziale y(t0) = y0:
y
y0
dη
q(η) =
t
t0
p(τ)dτ.
Il problema così è riportato alle quadrature, cioè alla ricerca di primitive e inversioni di funzioni. La
soluzione, in generale, sarà in forma implicita. In alternativa, si scriva l’equazione come equazione
totale e si ottiene una equazione totale a variabile separabili.
(2) Equazioni del tipo y ′ = f(ax + by): con f continua e a, b ∈ R \ {0}. Posto z = ax + by si ottiene
l’equazione a variabili separabili z ′ = a+bf(z). Ad ogni integrale z(x) di questa equazione corrisponde
l’integrale dell’equazione di partenza y(x) = z(x)−ax
b .
(3) Equazioni a coefficienti omogenei: Si presentano nella forma
y ′
y
= f
x
In generale, il secondo membro è funzione continua omogenea di grado 0. Si pone z = y
x giungendo
all’equazione a variabili separabili z ′ = f(z)−z
x . Ad ogni integrale di questa equazione corrisponde l’integrale
y(x) = xz(x) dell’equazione di partenza. Un altra forma con cui può essere data un’equazione
a coefficienti omogenei è M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 con M, N funzioni omogenee dello stesso grado.
Si pone anche qui y = xz per studiare il caso x = 0, oppure x = yz per studiare il caso y = 0.
(4) Equazioni del tipo y ′
= f
: con f continua, a, b, c, a ′ , b ′ , c ′ costanti reali tali che ab ′ −
ax+by+c
a ′ x+b ′ y+c ′
a ′ b = 0 e c, c ′ non entrambe nulle. In queste ipotesi le due rette ax + by + c = 0 e a ′ x + b ′ y + c ′ = 0
hanno in comune un punto (α, β) = (0, 0). Una volta determinato tale punto, poniamo x = u + α,
y = v + β ottenendo l’equazione a coefficienti omogenei
v
dv a + b u
= f
du a ′ + b ′
v
u
Ad ogni integrale v = v(u) di essa corrisponde l’integrale y = β + v(x − α) dell’equazione di partenza.
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