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gen die "lückenhafte" Funktion, die stückweise
durch E a Fo bzw. E a Fu definiert ist.
I.2 Was bedeutet Kontinuität in
der Dynamischen Geometrie?
Die Unklarheit, was für die Zweikreisfigur als
"richtige" Auffassung von Stetigkeit gelten
soll, motiviert sicher den Versuch, dies nicht
durch "lokale Anschauung" sondern aus
"globalen Prinzipien" abzuleiten. Zur Begründung
des Zug-Verhaltens der Zug-Strategie
von "Cinderella" wird von seinen Autoren das
Ponceletsche Kontinuitätsprinzip (KP) angeführt:
"Ist eine Figur aus einer anderen durch
stetige Veränderung hervorgegangen und
'ebenso allgemein als diese', so kann eine
an der ersten Figur bewiesene Eigenschaft
ohne weiteres auf die andere übertragen
werden." (Poncelet 1822, z.n. Kötter
1901, 121)
In dieser Form definiert das Prinzip jedoch
nicht die Stetigkeit der Veränderung, sondern
folgert aus ihr eine andere Eigenschaft: die
Theoreminvarianz (TI):
Bewiesene Sätze bleiben bei stetiger Veränderung
richtig.
KP liefert damit eine notwendige Bedingung
für das Vorliegen stetiger Veränderung: nur
wenn Theoreme "zug-invariant" sind, kann
man das Verziehen einer Konstruktion stetig
nennen. Was stetige Veränderung als solche
bedeuten soll, wird dagegen wohl eher in
Leibniz' Version des Kontinuitätsgesetzes
(KL) deutlich:
"Wenn sich (bei den gegebenen Größen)
zwei Fälle stetig einander nähern, so daß
schließlich der eine in den anderen übergeht,
muss notwendig bei den abgeleiteten
bzw. abhängigen (gesuchten) Größen
dasselbe geschehen." (Leibniz 1687 &
1996, 192f)
Dies lässt sich mit Hilfe eines geeigneten
Abstandsbegriffs (etwa des verallgemeinerten
Euklidischen Abstands auf einem höherdimensionalen
Raum) schon als eine "moderne"
Stetigkeitseigenschaft formulieren.
Gehen nämlich in einer Konstruktion aus den
unabhängigen Elementen u=(u1, ..., un) die
abhängigen Elemente a=(a1, ..., ak) hervor,
so bedeutet (KL) nichts anders als stetige
Abhängigkeit (sA) im gewohnten Sinne:
d(u, u’) → 0 ⇒ d(a, a’) → 0
Lässt sich die betrachtete Konstruktion als
funktionaler Zusammenhang a=f(u) auffassen,
ist diese Bedingung offenbar gleichbe-
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
deutend mit der üblichen Stetigkeit von f; —
allerdings ist genau diese funktionale Beschreibung
der konstruktiven Abhängigkeit
oftmals nicht möglich, weil die verwendeten
Operationen mehrdeutig sind: Ein Winkel hat
zwei Halbierende, zwei Kreise schneiden
sich i.a. in zwei Punkten etc. Üblicher Weise
wählt man stets nur eine Instanz a der abhängigen
Elemente einer Konstruktion zu
den unabhängigen Elementen u aus; — allerdings
ist diese Auswahl in der Regel nicht
stabil gegenüber stetiger Veränderung: Wird
u längs eines geschlossenen Weges wieder
auf den Ausgangspunkt bewegt, wird a nicht
notwendig in sich überführt, sondern i.a. in
eine andere Instanz a* derselben Konstruktion!
Das paradigmatische
Beispiel hierfür ist das
folgende: Sei w die innere
Halbierende von
—AMB und S der
Schnittpunkt von w mit
dem Kreis k um M durch
Abb. 7
A. Für u=B→A "von unten"
gilt nicht a=S→A (vgl. Abb. 7). Denn
—AMB→360°, also —AMS→180°. In dieser
Betrachtungsweise kann (KL) durch kein
DGS erfüllt werden!
Dennoch nimmt "Cinderella" für sich in Anspruch,
stetiges Verhalten zu realisieren; —
und in der Regel nimmt der Benutzer dabei
auch keine Sprünge wahr. Das aber bedeutet
hier nur das Vorliegen einer stetigen Hochhebung
(sH) von u auf a:
Bewegt man u längs eines stetigen Weges
t→u(t), t∈[0,1], so gibt es auch einen
stetigen Weg t→a(t), der die Bewegung
des abhängigen Elements a beschreibt.
Wir schreiben dafür u�a.
Insbesondere wird dabei nicht behauptet,
dass aus u(1)=u(0) auch a(1)=a(0) folgt! Eine
DGS mit (sH) braucht also nicht deterministisch
zu sein. Erschwerend kommt Folgendes
hinzu: Die Eigenschaft (sH) ist nicht nur
wesentlich schwächer als (KL); — sie verändert
auch auf subtile Art die Auffassung von
Punkten; — es gibt jetzt nicht mehr den unabhängigen
Punkt u der Ebene, anhand dessen
sich Aussagen über die abhängigen Elemente
a der Konstruktion machen lassen,
wie man es aus der statischen Geometrie ja
gewohnt ist; — vielmehr kommt es nun entscheidend
auf die "Vergangenheit" von u an.
An dieser Stelle divergieren also die intendierte
Visualisierung durch die DGS und die
ihr zugrunde liegende begriffliche Modellierung
auf wesentliche Weise! Sichtbar ma-
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