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Ingmar Lehmann
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Abb. 11
Lösung:
Die Lösung folgt dem Muster in Aufgabe 2.
Statt der Länge von etwa 6,30 m, die sich
dort als Differenz bei 1 m Abstand ergab, erhalten
wir in diesem Fall läußereSch–linnereSch =
2πa ≈ 9,17 [m].
Dagegen erhalten wir ein ganz anderes Resultat,
wenn das ganze Gleis auf der Erde
verlegt wird, d.h. die eine Schiene auf dem
Äquator, die andere auf einem (parallelen)
Breitenkreis zum Äquator liegt (Aufgabe 15).
Aufgabe 10 lässt sich auch so formulieren,
dass überhaupt kein Seil mehr (oder Gleis) in
Erscheinung tritt:
Aufgabe 11: Einmal zu Fuß um den Äquator
Ein Mensch, der (a =) 1,80 m groß ist, laufe
(in Gedanken) einmal längs des Äquators um
die Erde. Dabei ist der Weg des Kopfes länger
als der der Füße.
Um wie viel ist der "Kopfweg" länger?
Lösung:
lKopfweg–lFußweg = 2πa ≈ 11,31 [m].
Alternativ bietet sich auch an, den größten
und kleinsten Schüler auszuwählen, und zu
fragen, wessen Differenz zwischen Kopf- und
Fußweg größer (kleiner) ist.
Der Extremfall, dass die Füße an einer Achse
(z. B. einer Reckstange) "drehbar befestigt"
sind und der gestreckte Körper eine vollständige
Drehung um diese Achse vollführt,
liefert diesen Wert für die Wegdifferenz zwischen
Kopf und Füßen unmittelbar; der
"Äquator", d.h. der Weg der Füße, schrumpft
auf Null.
Der Felgumschwung wäre besser geeignet,
allerdings würden dann die Hände die Rolle
der Füße übernehmen, während diese die
Rolle des Kopfes spielen würden. (vgl. Abb.
12)
Abb. 12
Aufgabe 12: Ein "kaltes" Drahtseil um den
Äquator
Diesmal legen wir einen Draht, ein Stahlseil,
straff um den Äquator.
Wie tief schneidet sich der Draht (konzentrisch)
in die Erde hinein, wenn der Draht um
1°C (oder 1°K) abgekühlt wird und wir annehmen,
dass der Draht dabei nicht reißt und
auch nicht mechanisch beeinflusst wird?
Lösung:
Die Längenänderung ∆l hängt von der ursprünglichen
Länge l, der Temperaturdifferenz
∆t und dem linearen Ausdehnungskoef-
1
fizienten α ab (αStahl = 0,000013 [ ]):
° K
∆l = α·l·∆t.
Damit erhalten wir bei Abkühlung um ∆t (°C)
die neue Länge l–∆l = l–α·l·∆t = l(1–α·∆t).
In unserem Fall ergibt sich dann
∆l = lÄquator–lDraht = α·lÄquator·∆t ≈ 520 m.
Für die Differenz aus ursprünglicher und abgekühlter
Drahtlänge erhalten wir ferner
∆l = 2πr–2π(r–a) = 2πa.
Der Draht schneidet sich mit einer Tiefe von
knapp 83 m in die Erdoberfläche hinein.
Aufgabe 13: Ein "heißes" Drahtseil um
den Äquator
Wir legen wieder einen Draht (Stahlseil)
straff um den Äquator. Um wie viel Grad
müsste dieser Draht erwärmt werden, damit
er genau 1 m länger als der Äquator wird?
Oder anders gefragt:
Um wie viel Grad müsste ein solcher konzentrisch
gespannter Draht erwärmt werden,
damit er überall denselben Abstand vom
Äquator hätte wie das Seil aus der "Urfassung"
der Aufgabe (a ≈ 16 cm)?