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Thomas Gawlick
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Abb. 13
u0 a
(ε)
sD
0 (ε)
x
A E
u'(ε)
a'(ε)
wandt, diese Anwendung von (KP) sei unzulässig:
Die Bewegung von E durch A dürfe
nur durch einen linearen Weg beschrieben
und dieser daher nur durch einen rein-imaginären,
nicht etwa durch einen reellen Weg
ersetzt werden. Dazu ist folgendes zu sagen:
• Die von uns in Kap. I.1 gewählte freie
Beweglichkeit der Punkte E und A dürfte
doch wohl eher dem entsprechen, was
vor dem geistigen Auge eines unvoreingenommenen
Betrachters abläuft, als eine
wie immer begründete Einschränkung
durch Linearisierung und Koordinatisierung.
• Formal könnte man das so begründen:
Die Fragestellung "Wie verhält sich F bei
Bewegung von E durch A?" gehört zunächst
einmal zur synthetischen Dynamischen
Geometrie als möglicher Erweiterung
der statischen Euklidischen Geometrie:
Hier ist zu fragen, welche zusätzlichen
Axiome die anschaulichen Vorstellungen
vom Verhalten bewegter Punkte
adäquat beschreiben; — und solche Vorstellungen
treten ja explizit schon im Originalbeweis
von Euklids Proposition I,2
auf! Damit dürfte aber auch klar sein,
dass von Anfang — zumindest von Euklid!
— an eine Beschränkung auf lineare Bewegungsmöglichkeiten
nicht gedacht war.
Es müsste also erst noch dargelegt werden,
aus welcher späteren Entwicklungslinie
eine solche Beschränkung herrühren
und wie sie gerechtfertigt werden sollte.
• Im Sinne der kinematischen Geometrie
würde man die Bewegung der Punkte in
obiger Fragestellung adäquat mittels stetiger
Wege beschreiben; — so dürfte es
wohl auch Leibniz verstanden haben. Der
Schritt von stetigen zu linearen Wegen ist
aber natürlich groß und auch nicht dadurch
zu rechtfertigen, dass er etwa zu
stärkeren Aussagen führt (s.u.).
• Erst nach einer Koordinatisierung und
Komplexifizierung des Anschauungsraums
leuchtet die von Herrn Kortenkamp
nahegelegte Einschränkung ein: dann
wird die Bewegung von E durch A nämlich
durch einen reell-differenzierbaren Weg in
einem komplex-eindimensionalen Gebilde
beschrieben. Und erst auf solche Wege
lässt sich dann die klassische Funktionentheorie
in der von Klein beschriebenen
Weise anwenden.
Deutlich wurde aber bereits in Kap. I.4, dass
diese Vorgehensweise auf wesentlichen Einschränkungen
basiert, die nicht aus der Fragestellung
zu rechtfertigen sind; — das konzedieren
im Grunde auch "Cinderellas" Autoren:
"Es mag zunächst befremdlich erscheinen,
dass in der Definition von Kontinuität lediglich
das Verhalten auf quasi-linearen und
nicht auf quasi-stetigen Wegen als Eingangsvariation
berücksichtigt wird. Würde die Definition
aber auf allgemeinen quasi-stetigen
Wegen aufbauen, so könnten wir nicht erwarten,
dass es überhaupt nicht-triviale kontinuierliche
formale DGS gibt" (Kortenkamp &
Richter-Gebert 2001, 133). Wir teilen jedoch
nicht den impliziten Umkehrschluss, dass
sich dies durch Einschränkung auf quasilineare
Wege abwenden lässt! Denn man
überlegt sich leicht, dass das nicht zu einer
Verbesserung der Antwort führen kann: Bekanntlich
lässt sich jede stetige reelle Funktion
auf einem abgeschlossenen Intervall
gleichmäßig durch Polynome approximieren
(Satz von Stone-Weierstraß). Und jedes Polynom
kann auf einem Intervall durch hinreichend
viele Stützstellen gleichmäßig gut
durch stückweise quasi-lineare Funktionen
interpoliert werden. Wendet man beides zusammen
auf die Komponenten eines quasistetigen
Weges an, sieht man, dass man ihn
gleichmäßig durch quasi-lineare Wege approximieren
kann. Jedes Stetigkeitsresultat
für quasi-lineare Wege lässt sich daher auf
quasi-stetige Wege übertragen.
Umgekehrt lässt sich auf diesem Hintergrund
vermuten, dass sich die begrüßenswerte Absicht,
"man kann aber auch a priori bestimmte
Qualitätsmerkmale axiomatisch fordern
und auf mathematischer Basis zeigen, dass
eine bestimmte Modellierung diesen Qualitätsansprüchen
genügt, — oder zeigen, dass
es eine solche Modellierung nicht geben
kann" (Kortenkamp & Richter-Gebert 2001,
124), für den selbst gestellten Anspruch,
Zugfiguren maximal stetig zu erweitern und
zugleich stetig zu verformen, nur in der letztgenannten
negativen Hinsicht erfüllen lässt:
Entgegen dem ersten Augenschein ist nicht
nur "Cinderella" offenbar nicht in der Lage,
zugleich (sD) und (sE) zu realisieren, — sondern
wohl überhaupt kein DGS.