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� Dynamische Visualisierung einer Aufgabe
(in Variationen)
Ingmar Lehmann, Berlin
Wir legen um den Äquator (in Gedanken) ein Seil, das 1 m länger ist als der Äquator.
Welchen Abstand hat das Seil von der Erdoberfläche, wenn das Seil konzentrisch gespannt
wird? — So etwa lautet die "übliche" Fassung dieser Aufgabe.
Mit dieser Aufgabe gelingt es noch immer, Interesse und Aktivität der Schüler zu wecken.
Diese Aufgabe werden wir im Folgenden variieren und dabei auf zum Teil unerwartete
Resultate stoßen. Obwohl die Ergebnisse nachvollziehbar sind, bleibt ein Unbehagen:
"Ich verstehe es, aber glaube es nicht." Mit Hilfe dynamischer Geometriesoftware werden
die Resultate erlebbar!
Überraschende oder unerwartete Ergebnisse
stimulieren den Fortgang mathematischen
Experimentierens ebenso wie auftretende
Widersprüche. Diese Widersprüche können
dabei auch nur scheinbare sein.
Abb. 1
Die oben gestellte Aufgabe ist alt, "uralt"; —
dennoch hält sie noch immer einige Überraschungen
parat. Dabei nehmen wir der Einfachheit
halber an, die Erde sei eine (vollkommene)
Kugel und der Äquator sei exakt
40 000 km lang. Die Aufgabe werden wir im
Folgenden variieren und dabei auf zum Teil
völlig unerwartete Resultate stoßen.
1 Das "konzentrische" Seil
1.1 "Urfassung" der Aufgabe
Aufgabe 1:
Um den Äquator wird konzentrisch ein Seil
gespannt, das 1 m länger ist als der Äquator.
Welchen Abstand a hat das Seil von der
Erdoberfläche? (vgl. Abb. 1, 2)
u+1
u
Abb. 2
Zunächst wird man die Schüler schätzen lassen!
Auch Fragen wie "Könnte man ein Blatt
Papier, das etwa ein Zehntel Millimeter dick
ist, zwischen Seil und Erdoberfläche hindurchschieben?"oder
"Könnte eine Fliege, eine
Maus darunter hindurchkriechen?" sollten
die Schüler veranlassen, die Aufgabe mit Interesse
in Angriff zu nehmen.
Lösung:
Die Schüler müssen lediglich den Zusammenhang
zwischen Radius und Umfang eines
Kreises kennen (u = 2πr) sowie einfachste
Termumformungen beherrschen.
lSeil = uÄquator+1 = 2πr+1
Da das Seil selbst auch einen Kreis beschreibt,
nämlich mit dem Radius r+a, gilt
ferner
lSeil = 2π(r+a),
r
r
a
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