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Ingmar Lehmann
Auch dieser Abstand a zwischen beiden
Quadraten ist somit unabhängig von der Seitenlänge
des Ausgangsquadrates. Das gilt
damit auch für ein Quadrat mit der Seitenlänge
von 10 000 km.
Die Verlängerung um 1 m erzeugt daher
auch in diesem — dem Äquator nachempfundenen
— Beispiel einen Abstand von
12,5 cm. Hier erscheint das Ergebnis "glaubhafter"
als die 16 cm (für das Seil um den
Äquator), da man ja "sieht", wo die Verlängerung
um 1 m bleibt!
Anstelle eines Quadrates kann man auch ein
gleichseitiges Dreieck, allgemein ein regelmäßiges
Vieleck, betrachten und nach dem
Abstand des Fadens vom Vielecksrand fragen.
Aufgabe 7: Ein Seil um ein regelmäßiges
n-Eck
Um ein regelmäßiges n-Eck wird ein Fadenn-Eck
gespannt, das um 1 m länger ist als
der Umfang des gegebenen n-Ecks.
Der Faden wird dabei so gespannt, dass die
jeweiligen n-Eckseiten zueinander parallel
sind (vgl. Abb. 6, 7, 8).
Welchen Abstand a hat der Faden vom Rand
des Ausgangs-n-Ecks? Genauer: Welchen
Abstand a haben die jeweiligen zueinander
parallelen n-Eck-Seiten?
Lösung: (im Überblick)
Auch für die drei regelmäßigen Vielecke in
Abb. 6, 7, 8 ist also der Abstand a zwischen
den jeweiligen zueinander parallelen Vieleckseiten
unabhängig von der Seitenlänge
des Ausgangsvielecks.
Für ein beliebiges regelmäßiges n-Eck gilt
mit n·s+1 = n·s+2·n·b dann 1 = 2·n·b; mit
π
cot
π b 1
tan = folgt damit a = = n .
n a
π 2n
2n
tan
n
Je größer die Eckenzahl n ist, umso größer
wird der Abstand a. Wächst a beliebig?
Natürlich kann dieser Abstand a niemals
größer werden als der im Falle des Kreises!
Der Abstand a liegt im Falle des regelmäßigen
Sechsecks (14,4 cm) schon relativ nahe
an dem Grenzwert, den wir in Aufgabe 1
gewonnen haben (≈16 cm):
a = lim
n→∞
130
1 1
= ≈16 [cm].
π
2n
tan
2π
n
s
s + 2b
Abb. 6: a ≈ 9,6 cm
s
s + 2b
a
Abb. 7: a ≈ 13,8 cm
s
s + 2b
a
Abb. 8: a ≈ 14,4 cm
Aufgabe 8: Ein Seil um ein Kreisbogendreieck
Um ein Reuleauxsches Dreieck (mit Kreisbögen
vom Radius r) wird ein Faden gespannt,
der um 1 m länger ist als der Umfang des
Reuleauxschen Dreiecks selbst. Der Faden
wird dabei so gespannt, dass er wieder ein
Reuleauxsches Dreieck bildet. Beide Reuleauxschen
Dreiecke sollen "konzentrisch"
liegen, d.h., die Schwerpunkte der beiden
Trägerdreiecke fallen zusammen und die
a
b
b
a
a
a
b
b
b
b