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Hans-Jürgen Elschenbroich
Es folgen dazu zweierlei Beweise, einmal der
erwähnte Zerteilungsansatz und dann ein
zweiter Beweis, in dem explizit eine pythagoras-ähnliche
Figur auftaucht, in der der Charakter
des Flächensatzes sichtbar wird.
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Abb. 7: Lambacher-Schweizer 1960
Auch ist hier im Text wieder der Hinweis auf
die Verallgemeinerung des Pythagoras-Satzes
zu finden.
Fast die gleiche Figur ist dann auch im Lambacher-Schweizer
von Ende 40er / Anfang
50er Jahre zu finden. Es gibt jedoch einen
kleinen, aber bedeutenden Unterschied: Der
Hinweis b·cosγ am Rande des Quadrats
über a ist nicht mehr vorhanden und die Formel
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosγ ist nicht mehr zu
finden.
Abb. 8: Lambacher-Schweizer ca. 1950
Bemerkenswert: Der Satz ist hier rein als
Flächensatz mit Quadraten und Teilrechtecken
formuliert! Dies erklärt sich daraus,
dass dieser Sachverhalt nicht im Kapitel Trigonometrie
thematisiert wurde (die damals
noch in der Oberstufe behandelt wurde),
sondern im Kapitel "Flächensätze im rechtwinkligen
Dreieck" unter "Vermischte Aufgaben"
auftauchte. Anstelle des Kosinus wird
hier mit der Projektion einer Strecke auf eine
andere argumentiert.
4 Der Ursprung
Insgesamt fällt auf, dass die Formulierung
von 1950 rein verbal ist und die Deutung des
Sachverhalts als Kosinus-Satz offensichtlich
neuzeitlicher zu sein scheint. Der Flächen-
Aspekt samt Projektionsgedanken dürfte
klassischer sein. Die weitere Rückverfolgung
der Lambacher-Schweizer-Reihe stößt an eine
natürliche Grenze. Ein Blick in den Klassiker,
die Elemente des Euklid, brachte folgendes
zu Tage:
§ 13 (L. 12).
An jedem spitzwinkligen Dreieck ist das
Quadrat über der einem spitzen Winkel gegenüberliegenden
Seite kleiner als die Quadrate
über den diesen spitzen Winkel umfassenden
Seiten zusammen um zweimal das
Rechteck aus einer der Seiten um diesen
spitzen Winkel, nämlich der, auf die das Lot
fällt, und der durch das Lot innen abgeschnittenen
Strecke an dieser spitzen Ecke.
Damit hat die Rückverfolgung des Kosinussatzes
nun ihr Ende gefunden.
5 Die Dynamisierung mit
DGS
Bei der Umsetzung in eine dynamische Konstruktion
haben wir uns auf den Fall des
spitzwinkligen Dreiecks beschränkt. Dabei
kann man den Scherungsansatz des Beweises
von Euklid zum Satz des Pythagoras
aufgreifen 1 .
Es ist ein spitzwinkliges Dreieck ABC gegeben
samt Quadraten über den Seiten. (Wenn
C so gezogen wird, dass das Dreieck stumpfwinklig
würde, verschwindet es.)
a) Woran erinnert dich diese Figur?
b) Begründe: Die blau gefärbten Teilrechtecke
in a² und c² sind gleich groß.
Ziehe dazu an Zug1 und Zug2. Dann
kannst du die blau schraffierten Flächen
in eine solche Gestalt und Lage bringen,
dass du ihre Kongruenz begründen
kannst.
1 Euklid hatte das selbst nicht so gemacht, sondern auf das Ergebnis
des Pythagoras-Satzes zurück gegriffen und nicht auf den Beweisansatz.
Die Scherungsargumentation macht aber den Flächenaspekt
besonders deutlich.