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Eckpunkte des zweiten Trägerdreiecks liegen
auf den Winkelhalbierenden des ersten Trägerdreiecks.
(vgl. Abb. 9)
u + 1
b
u
r
r
r '
Abb. 9
Welchen Abstand a haben die Mittelpunkte
der jeweiligen (zueinander ähnlichen) Kreisbögen
der beiden Reuleauxschen Dreiecke?
Welchen Abstand b haben die auf einer Winkelhalbierenden
liegenden Eckpunkte der
beiden Reuleauxschen Dreiecke?
Lösung:
Überraschender Weise ist zunächst der Umfang
eines Reuleauxschen Dreiecks der Dicke
r gerade gleich dem Umfang des Kreises
mit dem Durchmesser dieser Dicke des Reuleauxschen
Dreiecks. Das ist der Satz von
Emile Barbier (1839–1889): u = πr.
Mit πr+1 = π(r+a+b) = πr+π(a+b) folgt unmit-
1
telbar 1 = π(a +b), also a+b = ≈ 32 [cm].
π
Man kann dann zeigen, dass sich so
3 − 3
3
a = ≈13,5 [cm]; b = ≈ 18,4 [cm] er-
3π
3π
geben. Diese beiden Abstände sind von der
"Dicke" r des gegebenen Reuleauxschen
Dreiecks unabhängig.
Aufgabe 9: Ein Seil um ein Kreisbogenviereck
Um ein Quadrat der Seitenlänge s werden
vom Mittelpunkt jeder Seite Kreisbögen
durch die gegenüber liegenden Eckpunkte
geschlagen. Um dieses Kreisbogenviereck
wird ein Faden gespannt, der um 1 m länger
ist als der Umfang des Kreisbogenvierecks
selbst.
Der Faden wird dabei so gespannt, dass er
wieder ein Kreisbogenviereck bildet. Beide
Kreisbogenvierecke sollen so liegen, dass
die Mittelpunkte der beiden Trägerquadrate
zusammenfallen und die Eckpunkte des
zweiten Trägerquadrates auf den Winkelhal-
a
Dynamische Visualisierung einer Aufgabe (in Variationen)
bierenden des ersten Trägerquadrates liegen.
(vgl. Abb. 10)
u + 1 u
a
b
M
s
s '
Abb. 10
Welchen Abstand a haben die Mittelpunkte
der jeweiligen (zueinander ähnlichen) Kreisbögen
der beiden Kreisbogenquadrate? Welchen
Abstand b haben die auf einer Winkelhalbierenden
liegenden Eckpunkte der beiden
Kreisbogenquadrate?
Lösung:
Mit etwas Geduld erhält man auch hier, dass
die beiden Abstände a und b von der Seitenlänge
s des gegebenen Quadrates unabhängig
sind: a ≈ 14,9 cm; b ≈ 17,1 cm. Ihre
Summe a+b ist damit ebenfalls etwa 32 cm.
1.4 Eine sportliche und fünf
physikalische Variationen
von Aufgabe 1
Statt des Seils, das im Abstand von 1 m von
der Erdoberfläche um den Äquator gespannt
wird, findet man in der Literatur auch die Version,
ein Eisenbahngleis um den Äquator zu
verlegen. Dass es sich hierbei erst recht um
ein Gedankenexperiment handelt, sei noch
einmal hervorgehoben.
Aufgabe 10: Per D-Zug um den Äquator —
ein "fragwürdiges" Eisenbahngleis
Ein Eisenbahngleis, das rund um den Äquator
führt und komplett in der Äquatorebene
liegen möge, verlaufe mit der inneren Schiene
direkt auf dem Äquator, die äußere
Schiene liege in der Luft.
Um wie viel Meter wäre die äußere Schiene
länger als die innere Schiene? (vgl. Abb. 11)
(a = Gleisbreite = Spurweite = 1,46 m)
r
r '
131