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Thomas Gawlick
chen lässt sich dies am leichtesten, indem
man "Cinderella" in Abb. 7 —AMB anzeigen
lässt; — beim Bewegen im bzw. gegen den
Uhrzeigersinn erhält man dann beliebig kleine
bzw. große Werte für —AMB. Dies zeigt,
dass B "in Wirklichkeit" gar nicht in der Euklidischen
Ebene E bewegt wird. Wo aber
dann?
Um die Information über die Auswahl von a
gleichsam in u zu konzentrieren und so beide
Seiten wieder etwas anzunähern, bietet es
sich an, u mit "Zustandsinformation" darüber
anzureichern, welche der möglichen Instanzen
für a aktuell gewählt wurde. Das entspricht
dem Übergang von Punkten u in der
Euklidischen Ebene E zu Paaren (u,a)∈E×E .
Diese Paare bilden eine Überlagerung von
E: "über" jedem u (außer dem Verzweigungspunkt
M) liegen zwei Paare (u,a). Vermöge
der Projektion (u,a)→u wird diese
Überlagerung von "Cinderella" in der Bildschirmebene
dargestellt. Dabei gehen bestimmte
Information notwendig verloren, —
ähnlich wie bei der ebenen Projektion eines
Kantenmodells: Wenn Kanten im Bild zusammenfallen,
kann man allein aus der Abbildung
nicht mehr erschließen, welche gemeint
ist. Erst beim Bewegen wird das deutlich,
— ähnlich bei "Cinderella": hier jedoch
sieht man stets nur einen der beiden möglichen
Punkte, — und muss sich überlegen,
welcher. Durch Ziehen lässt sich das evtl.
entscheiden; — allerdings ändert sich dabei
dann auch die Auswahl des Punktes ... Auch
Kortenkamp und Richter-Gebert konzedieren,
"dass das auf einem Computerbildschirm
gezeigte reelle [sic!] Verhalten eines
DGS nur ein unvollständiges Bild des gesamten
mathematischen Inhalts einer Konstruktion
angibt ... Vielmehr hat der Weg, den
man von einer Startsituation aus nimmt, entscheidenden
Einfluss. Das stimmt sogar
dann noch, wenn die komplette Bewegungssituation
auf einen Parameter t reduziert
worden ist. Selbst dann entscheidet immer
noch die relative Windungszahl in C des Weges
von t um die Verzweigungspunkte über
die erreichte Endinstanz." (a.a.O., 138f) All
diese Sachverhalte wird man aber wohl
kaum einem Lehrer (zu schweigen von Schülern!)
deutlich machen können; — dennoch
beeinflussen sie auf nachdrückliche Weise
die Gesetze der "Cinderella"-Geometrie,
wie wir sehen werden.
Noch weitreichender ist jedoch die in
Kap. I.1 offenbar gewordene Unstetigkeit der
"Cinderella"-Fortsetzung bei Verformung des
Zugweges! Man mag diese bloß für eine Erschwernis
der Aufgabenstellung halten, und
100
daher für unpassend, solange nicht einmal
die Ausgangsfrage geklärt ist. Tatsächlich
wird aber die Analyse der Zugstrategie von
"Cinderella" in Kap. I.4 nachweisen, dass
genau diese Eigenschaft essentiell für ihre
tatsächliche Umsetzung ist. Wir kommen insofern
nicht umhin, noch eine weitere Bedingung
für stetiges Verhalten zu formulieren,
die sich als notwendig für "Cinderella" erweisen
wird!
Stetige Verformung von Wegen führt auf den
topologischen Begriff der Homotopie, worauf
hier aber nicht eingegangen werden braucht:
Interpretieren wir nämlich wie in (Gawlick
2001) die stetige Verformung einer Figur
selbst wieder als neue Figur — die Zugfigur!
—, können wir auch deren stetige Deformation
(sD) verlangen:
Verformt man den Zugweg einer Figur
stetig, soll sich die Zugfigur ebenfalls stetig
verhalten.
Sinnvoller Weise wird (sH) vorausgesetzt.
Dann lässt sich (sD) mittels (KL) beschreiben:
Der Zugweg eines Punktes u ist nichts anderes
als die Zugfigur U von u, wenn man u als
Figur auffasst. Entsprechend sei A die Zugfigur
eines abhängigen Punktes a. Dann bedeutet
(sD) nichts anderes als stetige Abhängigkeit
der Zugfigur (sZ):
d(U, U’) → 0 ⇒ d(A, A’) → 0
Man genieße die Kürze und Eleganz dieser
Formel und ihre starke Ähnlichkeit mit (sA)!
Mit Wegen lässt (sD) sich so formulieren:
u' � a'
↓ ↓
u � a
Also ist (sD) nichts anderes als (KL) für Wege!
Die Autoren von "Cinderella" versuchen jedoch,
noch einen Schritt weiter zu gehen und
(sD) zur Behebung von Ausnahmesituationen
zu benutzen. Das ist mehr als Kontinuität
— sozusagen das Prinzip der stetigen Erweiterung
(sE):
Zugfiguren längs Wegen durch Ausnahmesituationen
sollen stetig fortgesetzt
werden, indem der durchlaufene Weg stetig
abgeändert wird.
Damit dies von Erfolg gekrönt ist, muss die
Zugfigur sich bei einer solchen Verformung
natürlich ebenfalls stetig verhalten, also (sZ)
und damit auch (sD) gelten. Unsere Beispiele