WWW und Mathematik — Lehren und Lernen im Internet

� Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen
Geometrie
Thomas Gawlick, Landau
Das Erscheinen der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) "Cinderella" war der Auslöser
für eine aspektreiche und teils kontroverse Diskussion über die Frage: Was ist das
korrekte Verhalten von DGS im Zugmodus? "Dazu muss festgelegt werden, was man als
korrekt ansieht, und eine naheliegende Forderung ist[,] hier Kontinuität zu erreichen. Dabei
entspricht der Begriff der Kontinuität dem der Stetigkeit (eine sinnvolle Topologie vorausgesetzt).
... Da Kontinuität offensichtlich nicht trivial zu erreichen ist, stellt sich die
Frage, ob sie denn überhaupt erreichbar ist. Die Frage kann positiv beantwortet werden,
und mit Cinderella ist inzwischen ein[e] kontinuierliche DGS erhältlich." (Kortenkamp
2000). In Teil I. werden wir zeigen, dass diese Antwort in zweierlei Hinsicht mehr Probleme
aufwirft, als sie löst. Scheut man jedoch zurück vor der Tragweite solcher Grundsatzüberlegungen,
aber auch vor den bekannten Nebenwirkungen des stetigen Zug-
Paradigmas, stellt sich natürlich um so dringender die Frage: Kann man auch auf andere
Weise korrektes Verhalten von DGS im Zugmodus herbeiführen? Ja, das kann man — in
Teil II. zeigen wir, dass die Restrukturierung des dynamischen Konstruktionsbegriffs
zu einem Lösungsweg führt, der auch didaktisch fruchtbar gemacht werden kann.
I. Das Problem der Kontinuität
Postuliert man, dass DGS sich stetig verhalten
soll, stellen sich zwei neue Fragen:
(1) Welches Zug-Verhalten ist als stetig zu
bezeichnen?
(2) Wie stellt man es her?
Die Antwort auf (1) ist nur scheinbar offenkundig;
— in Kap. I.1 werden wir sehen, dass
man hierüber schon in einfachsten Beispielen
ganz unterschiedlicher Ansicht sein kann.
Und es zeigt sich in Kap. I.2, dass die konträren
Auffassungen sich tatsächlich jeweils auf
verschiedene mögliche Präzisierungen des
Begriffs Kontinuität stützen können. Schließlich
lehrt auch der geschichtliche Rückblick in
Kap. I.3, dass sich aus der historischen Entwicklung
das Kontinuitätsprinzips keineswegs
so einfach und eindeutig einer dieser
Interpretationen den Vorzug geben lässt.
Nun könnte man meinen, dass sich doch
wenigstens aus der Antwort auf (2) eine
Maßregel für stetiges Verhalten ableiten
lässt. Dem ist jedoch nicht so; — in Kap. I.4
beschreiben wir, wie in "Cinderella" Stetigkeit
erzeugt werden soll, indem Ausnahmesituationen
durch Umwege ins Komplexe vermieden
werden. Ebenso gut kann man jedoch
als Geometer auch einen reellen Umweg beschreiten;
— und das führt zu einem abweichenden
Verhalten, welches gemäß der Analyse
in Kap. I.2 sogar höhere Stetigkeitseigenschaften
hat. Insofern muss also offen
bleiben, ob überhaupt eine einzige Zug-
Strategie als die stetige benannt werden
kann.
I.1 Springende Punkte: unstetig
— oder auch nicht
F
A
Abb. 1
Bei spielerischen Erkundungen im Vorfeld
der klassischen Zweikreis-Konstruktion der
Mittelsenkrechten kann man folgende Erfahrung
machen: Gegeben seien zwei Kreise
mit gleichem Radius r und Mittelpunkten A,
E, die frei beweglich gedacht sind — und mit
DGS auch so erfahren werden können. Für
0