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Lösung:
Mit lÄquator+1 = lÄquator+lÄquator·α·∆t erhalten wir
∆t ≈ 0,002°C.
Es genügt also eine winzige Temperaturerhöhung
von etwa 0,002°C, um diesen Abstand
von etwa 16 cm herzustellen.
Aufgabe 14: Per D-Zug um den Äquator —
ein "gewagtes" Eisenbahngleis
Ein Eisenbahngleis wird entlang des Äquators
verlegt. Eine Schiene folgt exakt dem
Äquator ("Äquatorschiene"), die dazu parallele
Schiene soll ganz auf der Erde verlegt
werden, also auf einem (parallelen) Breitenkreis
zum Äquator ("Parallelschiene"). Die
Äquatorschiene sei genau 1 m länger als die
Parallelschiene. (vgl. Abb. 13)
Wie groß ist der Gleisabstand a?
Oder anders gefragt: Auf welchem Breitenkreis
verläuft die Parallelschiene?
Lösung:
h
M'
M
Abb. 13
r
r '
B
a
α a/2
α/2
r C
r
a = ≈ 1423,5 [m]. Die Spurweite wäre al-
π
so "gigantisch", nämlich fast 1½ km.
Aufgabe 15: Per D-Zug um den Äquator –
ein normales Eisenbahngleis
Ein Eisenbahngleis wird entlang des Äquators
verlegt. Eine Schiene folgt exakt dem
Äquator ("Äquatorschiene"), die dazu parallele
Schiene soll ganz auf der Erde verlegt
werden, also auf einem (parallelen) Breitenkreis
zum Äquator ("Parallelschiene").
Um wie viel Meter wäre die Äquatorschiene
eines solchen Gleises, das rund um den
Äquator führt, länger als die zugehörige Parallelschiene,
wenn angenommen wird, dass
die Parallelschiene ganz auf der Erde verlegt
b
A
Dynamische Visualisierung einer Aufgabe (in Variationen)
wird, also auf einem Parallelkreis zum Äquator?
(a = Gleisbreite = Spurweite = 1,46 m)
Lösung:
Die Spurweite a können wir wegen des sehr
kleinen Winkels α mit dem Bogen b identifizieren.
Ein erwartetes — oder wohl eher unerwartetes
Resultat: die Schienen unterscheiden
sich in ihrer Länge nicht! Der Taschenrechner
zeigt ∆l = 0 an; die Grenze der Genauigkeit
ist hier erreicht. Selbst per Computer-
Algebra-System wird erst bei 25- bzw. 30stelliger
Anzeige ein von Null verschiedener
Wert ermittelt. Der TI-92 liefert ∆l = 1,2 µm.
2 Das hochgezogene Seil
2.1 Die "aufgehängte" Erdkugel
Aufgabe 16:
Das Seil wird – wie in Aufgabe 1 – um 1 m
verlängert. Aber jetzt soll es nicht konzentrisch
liegen, sondern so gezogen werden,
dass es an einer Stelle maximalen Abstand
von der Erdoberfläche besitzt. (vgl. Abb. 14)
Wie weit lässt sich das Seil hochziehen?
Q
T
R
M
x
α
Abb. 14
Das Ergebnis ist scheinbar (wieder) paradox!
Hatten die Schüler in Aufgabe 1 zunächst
wohl eher erwartet, das Seil lasse bei 1 m
Verlängerung und konzentrischer Spannung
kaum Spielraum für eine Maus zum Hindurchkriechen,
so liefert dieselbe Verlängerung
um 1 m, jetzt aber tangentialer "Aufhängung"
der Erde im Seil, ein wieder ganz unerwartetes
Resultat: fast 122 m (Meter!).
b
y
r
S
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