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zeigen jedoch folgenden, in Kap. I.4 zu beweisenden,
Ausschließungssatz: (sD) und (sE) sind
unvereinbare Prinzipien der Dynamischen
Geometrie.
Fassen wir nun zusammen, was all diese
Prinzipien für die Dynamische Geometrie
hergeben:
• (KP) liefert keine Präzisierung des Stetigkeitsbegriffs,
— aber eine notwendige
Bedingung für eine solche: (TI).
• (KL) lässt sich dagegen in die Stetigkeitsbedingung
(sA) übersetzen; — deren Voraussetzungen
sind jedoch i.A. zu stark.
• (sH) lässt sich dagegen für die Dynamische
Geometrie als Stetigkeitsbedingung
verwenden, — liefert aber zwischen den
beiden Fortsetzungen von E a F aus
Kap. I.1 nicht unbedingt die gewünschte
Abgrenzung:
o Auch die "lückenhafte" Fortsetzung
durch E a Fu erfüllt (sH).
o Die überall stetige Fortsetzung E a Fo
erfüllt (sH) zwar in einem Punkt mehr;
— dass man dadurch auch in diesem
Beispiel die Euklidische Ebene verlässt,
wird von (sH) aber natürlich nicht
erfasst.
• (sD) ist als (sZ) bündig präzisierbar und
daher gut als Prüfstein tauglich,
• (sE) ist wohl die stärkste Forderung, genügt
aber nicht als alleiniges Kriterium der
Unterscheidung:
o (sD) wird von "Cinderella" im Beispiel
aus Kap. I.1 verletzt, — obwohl notwendige
Bedingung der internen Zugstrategie!
o Dagegen erfüllen andere DGS (sD) im
Beispiel aus Kap. I.1; — sie verzichten
aber auf (sE) Erweiterung der Gültigkeit
von (sH) auf E=A.
Die Autoren von "Cinderella" entscheiden
sich dafür, (sD) zu opfern, um (sH) durchgängig
zu realisieren. Ob dies tatsächlich
(KP) entspricht, muss jedoch fraglich bleiben,
da doch in einigen Beispielen (TI) verletzt zu
werden scheint (vgl Kap. I.3). Die anderen
DGS erkaufen dagegen die Gültigkeit von
(sD) mit der scheinbaren "Sprunghaftigkeit"
von Zugfiguren, deren Definitionsbereich
eben nicht um E=A erweiterbar ist, ohne Widersprüche
zu produzieren.
Welchem dieser widersprüchlichen Prinzipien
soll aber der Anwender nun den Vorzug geben?
Eine genauere Analyse ihrer begriffli-
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
chen Relationen erfordert sicherlich mehr
Mathematik, als man billigerweise von Lehrern
als fertig abrufbar verlangen wird, —
umso mehr, als dies letztlich nicht zu definitiven
Antworten führen kann, da sich der Widerspruch
zwischen Erfüllbarkeit von (sD)
und (sE) auch nicht auf höherer Ebene auflösen
wird. Diesen Weg weiter zu begehen,
wäre ggf. wohl eher ein adäquater Gegenstand
für Topologie-Vorlesungen, — die sich
zukünftig ja vielleicht auch mehr solch konkreten
Dingen zuwenden werden ...
I.3 Das historische Ringen um
das Kontinuitätsprinzip
Das vorige Kapitel lieferte statt der gewünschten
"globalen Ableitung" einer Präzisierung
des Kontinuitätsprinzips deren mehrere,
die in durchaus nicht einfach zu durchschauender
Beziehung zueinander stehen.
Dies kann zu einem Gefühl der Verwirrung
führen, von dem man sich vielleicht durch
den Rückgriff auf historische Autoritäten befreien
möchte, die diese Entscheidung eventuell
bereits mit größerem Weitblick getroffen
haben könnten. Wie auch immer, bei ihrer
Lesart des Kontinuitätsprinzips berufen sich
die Autoren von "Cinderella" jedenfalls auf
Felix Kleins Interpretation: "Erst die Bezugnahme
auf die Analysis, die Poncelet grundsätzlich
ablehnt, konnte das neue Gedankengebäude
auf eine sichere Grundlage stellen.
Der imaginäre Punkt ist dann ebenso wie
der reelle nur ein gemeinsamer Lösungswert
einer Anzahl gleichzeitig erfüllter Gleichungen,
die je eines der zum Schnitt gebrachten
Grundgebilde darstellen. ... Ein jeder geometrischer
Satz ist analytisch auszudrücken
(wenn wir Geometrie so umgrenzen, wie es
damals üblich war) durch die Nullsetzung einer
algebraischen oder auch nur analytischen
Funktion f(a,b,c,...) der darin in Beziehung
gesetzten Stücke a, b, c, ... der Figur.
Das Prinzip der Kontinuität spricht dann
nichts anderes aus, als dass eine analytische
Funktion, die längs eines noch so kleinen
Stückes ihres Bereiches verschwindet, überhaupt
Null ist." (Klein 1928, 82)
Schon zu Kleins Zeiten war allerdings deutlich,
dass diese Sicht von Geometrie zahlreiche
elementargeometrische Sachverhalte
und Beweise nicht erfasst, — nämlich insbesondere
die, welche auf Lageverhältnissen
beruhen:
• Z.B. der Umfangwinkelsatz lässt sich nicht
mehr wie gewohnt darstellen, weil die
Voraussetzung, dass ein Punkt auf einem
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