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Weise lässt sich eines der Haupttheoreme
über Kegelschnitte beweisen, ohne Umschweife
und Aufwand von Figuren, auch
nicht für jeden Kegelschnitt besonders, sondern
ganz allgemein, durch bloße geistige
Anschauung." Leibniz spricht also immer nur
von "zwei Punkten", ohne sie zu unterscheiden;
— und da er sie "durch bloße geistige
Anschauung" nur zusammen-, aber nicht
wieder auseinanderlaufen lässt, braucht er
auch nicht genauer betrachten, wie sie sich
dabei ggf. unterscheiden lassen, — und ob
überhaupt! Ganz genauso spricht Poncelet
angesichts der Verwandlung einer Geraden
in eine Kreistangente immer nur von einem
"System von Punkten"; — und auch bei ihm
wird die umgekehrte Bewegung nicht angesprochen.
Schon im Vorfeld der Veröffentlichung von
Poncelets Kontinuitätsprinzips kam es jedoch
auch zu Zweifeln an seiner Gültigkeit: Cauchy
sprach 1820 in seinem "Rapport à l'académie
des sciences... sur un mémoire ... par
M. Poncelet" nur von einer "induction forte"!
Aus der so begonnenen Auseinandersetzung
um die Rechtfertigung des Kontinuitätsprinzips
(und durch persönlichen Querelen aufgrund
von Prioritätsstreitigkeiten!) erwuchs
ein recht fruchtbar wirkender Gegensatz von
synthetischer und analytischer Geometrie,
der schließlich in von Staudts rein synthetischer
Auffassung gipfelte, wie man dem lesenswerten
Aufsatz von Fano (1903–1915)
entnimmt. Dagegen scheiterte der Versuch
von Schubert (1879), das algebraische Kontinuitätsprinzip,
die o.a. Problematik durch
Reduktion allein auf den quantitativen Aspekt
als "Prinzip von der Erhaltung der Anzahl" zu
retten:
Kohn (1902) führt eine Anzahl von Gegenbeispielen
auf und schließt mit dem vernichtenden
Urteil: "Das Schubertsche Prinzip von
der Erhaltung der Anzahl als Prinzip mathematischer
Beweisführung ist krank, unheilbar
krank sogar in gewissem Sinne; allein als
heuristisches Prinzip von allzeit frischer Kraft
wird es fortleben in der Wissenschaft." Und
schließlich führte sogar Hilbert (1900) in seiner
berühmten Liste ungelöster Probleme als
Nr. 15 die "Strenge Begründung von Schuberts
Abzählungskalkül" auf, was er wie folgt
begründete: "Wenn auch die heutige Algebra
die Durchführbarkeit der Eliminationsprocesse
im Princip gewährleistet, so ist zum Beweise
der Sätze der abzählenden Geometrie
erheblich mehr erforderlich, nämlich die
Durchführung der Elimination bei besonders
geformten Gleichungen in der Weise, daß
der Grad der Endgleichungen und die Vielfachheit
ihrer Lösungen sich voraussehen
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
läßt." Die Lösung dieses Problems durch van
der Waerden u.a. im Rahmen der grundlegenden
Neugestaltung der Algebraischen
Geometrie in der ersten Hälfte des vorigen
Jahrhunderts erfordert ganz andersartige
Begriffe und Methoden; — sie lässt dementsprechend
von der ursprünglichen Fragestellung
kaum noch etwas erahnen ... Von dem
Versuch, die anschauliche Fragestellung aus
Kap. I.1 in diese so ganz andersartige Sprache
zu übersetzen, soll hier abgesehen werden;
— selbst wenn es darauf dort auch eine
Antwort geben mag, ist doch deren Rückübersetzbarkeit
fraglich, sicherlich aber wenig
erhellend.
I.4 Cinderellas Behandlung von
Ausnahmesituationen
Um die funktionentheoretische Interpretation
von (KP) zu realisieren, verwenden die Autoren
von "Cinderella" noch eine weitere wesentliche
Idee:
Ausnahmesituationen werden durch Abänderung
des Weges vermieden.
Konkret bedeutet das:
Die Bewegung des unabhängigen Elements
u wird in einer Serie u0, u1, ..., un von Stützstellen
repräsentiert, die sich z.B. aus der
Position des Mauszeigers zu verschiedenen
Zeitpunkten ergeben. Diese Stützstellen sind
nun durch stetige Wege zu verbinden. Dabei
machen die Autoren von "Cinderella" jedoch
zwei wesentliche Einschränkungen:
- Punkte dürfen nur linear verbunden werden.
- Umwege dürfen nur auf komplex-lineare
Wegen in einer Koordinate vorgenommen
werden.
Vgl. dazu Abb. 8 aus Richter-Gebert (o.J.).
Die Homogenität dieser Darstellung lässt
leicht übersehen, dass gerade die zweite
Einschränkung sehr wesentlich ist: Denn sie
erfolgt keineswegs nur, um Ausnahmesituationen
möglichst zu vermeiden sondern überhaupt
bei jeder Bewegung: "'Cinderella' erzeugt
für je zwei aufeinander folgende Stützstellen
einen quasi-linearen Weg, bei dem
der Kontrollparameter durchs Komplexe
führt" (Kortenkamp & Richter-Gebert 2001).
Mit anderen Worten: "Cinderella" führt nie die
visualisierte reelle Bewegung aus, — selbst
dann nicht, wenn diese bereits linear ist: hat
etwa im Musterfall der Anwender die Bewegung
von E durch A so modelliert, dass E auf
einer Geraden durch A bewegt wird, so wird
beim Ziehen nicht diese Bewegung ausge-
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