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Thomas Gawlick
Im Beispiel führt jedoch die von "Cinderella"
vorgenommene Ersetzung des "gestörten"
Zugweges zu anderen Ergebnissen, als es
die Anschauung nahe legt. Schauen wir uns
das etwas näher an:
Im einfachsten Fall zieht man E also längs
einer Geraden auf A (Abb. 5a). Im Grenzfall
E=A ist F offenbar zunächst nicht definiert,
danach aber stetig fortsetzbar.
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Abb. 5a
Abb. 5b
Wenn man E über A hinaus bewegt, gibt es
offenbar genau zwei Möglichkeiten:
• F wird weiter durch den "oberen" Schnittpunkt
Fo fortgesetzt: stetiges Verhalten,
— so scheint es wenigstens ...
• F wird nun durch den "unteren" Schnittpunkt
Fu fortgesetzt: Dieses „sprunghafte“
Verhalten ist scheinbar unstetig.
Abb. 6
"Euklid" realisiert (wie die meisten DGS) das
scheinbare Umspringen von F in den anderen
Schnittpunkt (Abb. 5b).
Man beachte jedoch: Definitionsgemäß ist
die Zugfigur von F dennoch auch im zweiten
Fall der Graph einer stetigen Funktion, die
abschnittsweise durch E a F bzw. E a Fu gegeben
ist. Denn für E=A ist diese Funktion ja
nicht definiert. Ihr Definitionsbereich ist also
unzusammenhängend; — und auf den beiden
Komponenten ist sie offenbar stetig! Man
sollte daher nicht von "sprunghaft" sprechen,
sondern eher von "lückenhaft".
Trotzdem erscheint die erste Lösung zunächst
als die bessere: Wird doch in diesem
Fall die Zugfigur durch den "oberen" Schnittpunkt
Fo zum Graphen der stetigen Funktion
E a Fo auf dem ganzen Zugweg fortgesetzt.
Doch diese von "Cinderella" realisierte Möglichkeit
führt selbst zu einer Unstetigkeit:
Betrachten wir dazu (in Abb. 6) die geradlinige
Bewegung von E durch A als Grenzfall einer
geradlinigen Bewegung durch D, wobei D
immer näher an A liegt. Durchläuft E für festes
D eine solche Gerade c, bewegt sich dabei
stets das jeweilige F=F D auf dem festen
Kreis um A immer weiter nach unten, je näher
D an A liegt, um dann wieder nach oben
zurückzukehren. Der scheinbare "Sprung" in
der Bewegung von E durch A in Abb. 5b ist
also der stetige Grenzfall dieser Bewegung.
Abbildung 6 zeigt vier Stadien der Annäherung.
Bewegt man D auf A zu, gilt offenbar
F D ØFu für jedes Zwischenstadium der Bewegung
von E "links" von A. Mit anderen Worten:
Die Folge der Funktionen E a F D zu festem
D konvergiert für DØA nicht gegen die
überall stetige Funktion E a Fo, sondern ge-