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� Der Kosinussatz — wiederentdeckt als Flächensatz
1 Einleitung
Heutzutage wird in den Schulbüchern der
Kosinussatz üblicherweise bewiesen, indem
ein gegebenes spitzwinkliges Dreieck in zwei
rechtwinklige Teildreiecke zerlegt wird (bzw.
im stumpfwinkligen Fall entsprechend ergänzt
wird) und dann der Satz des Pythagoras
angewandt wird.
Dieser Beweis verfolgt einen algebraisch orientierten,
statischen Ansatz. Die schließlich
errechnete Formel dominiert. Sie bleibt dabei
bezugslos, es gibt kein adäquates Bild zur
Formel. Der Satz des Pythagoras wird im
Beweis zwar angewandt, bleibt aber unter
der Oberfläche.
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Hans-Jürgen Elschenbroich, Korschenbroich
Der Beitrag beschreibt, welche Erfahrungen und Entdeckungen die Autoren elektronischer
Geometrie-Arbeitsblätter (Elschenbroich & Seebach 2003) bei der Entwicklung von
Aufgaben zum Kosinussatz machten, wie eine alte Idee mühsam wieder freigelegt wurde,
wie sich dies bei der Lektüre alter Schulbücher entwickelte und wie sich schließlich mit
DGS derartige alte Ideen mit neuen Werkzeugen dynamisch umsetzen lassen.
Abb. 1: Duden Basiswissen Schule Mathematik
Abb. 2: Lambacher–Schweizer Klasse 10 (2000)
Eine Verwandtschaft zum Pythagoras-Satz,
die ja aus der Formel offensichtlich nahe
liegt, ist in der Beweisfigur nicht mehr zu erkennen.
Der Zusammenhang der Sätze ist
völlig verdunkelt, er wird nicht einmal mehr
im rechtwinkligen Sonderfall deutlich. Aus γ =
90° folgt nur noch algebraisch der Wegfall
eines Terms, weil ein Faktor darin 0 ist. Figürlich
ist vom klassischen Pythagoras-
Ansatz nichts zu finden, das betrachtete
Dreieck mutiert nur zu einem rechtwinkligen
Dreieck, in dem der Beweisansatz überhaupt
nicht mehr sichtbar wird.
Abb. 3a: Beweisfigur für γ > 90°