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P
R
Abb. 17
ist schon im Fall des dynamischen Linealkreises
die Verfügbarkeit von Makros praktisch
unerlässlich. Auf diese Weise kommt es
im Geometrieunterricht dann einmal zu der
oft als Ziel angestrebten Restrukturierung einer
Konstruktion durch Zusammenfassung
ganzer Sequenzen von Konstruktionsschritten
zu einem neuen Ganzen. Aber auch inhaltlich
weist dieser Zugang weit über den
Kreis hinaus: zu den rational parametrisierbaren,
also mit dem Lineal konstruierbaren
Kurven gehören nämlich insbesondere die
Ortslinien des Höhenschnittpunkts und der
Mittelpunkte von Um- und in einigen Fällen
auch Inkreis (Gawlick (2004b). Dieser algebraische
Sachverhalt wirft geometrische Fragen
auf: Lassen sich denn auch Mittelsenkrechten,
Höhen und Winkelhalbierende allein
mit dem Lineal konstruieren? Das würde
überraschen, da sie ja auf metrischen Eigenschaften
wie "senkrecht" oder "halbierend"
basieren. Diese sind allein mit Linealkonstruktionen
nicht zu realisieren; — aber es ist
möglich, sie in der Menge der Startpunkte zu
kapseln:
Abb. 18
Denn man kann aus ihnen die Koordinatenachsen
und den Ursprung U konstruieren
und hat auf diesen je zwei Punkte mit Mittelpunkt.
Zu einer solchen Geraden AB kann
man aber die Parallele durch einen gegebenen
Punkt F ziehen, wenn man noch über einen
weiteren Punkt R auf AF verfügt, von
dessen Existenz man sich jeweils vorher
überzeugen muss: Ist E der Mittelpunkt von
S
Q
g
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
A und B, D = ER∩BF und G = AD∩BR, dann
gilt AB⎟⎜FG (vgl. Abb. 18).
Auf das Parallelenziehen kann man die meisten
elementargeometrischen Konstruktionen
zurückführen (vgl. Gawlick 2004b):
II.3 Die Elementargeometrie als
Linealgeometrie
Mit einem Parallelenlineal sind fast alle
Grundaufgaben lösbar:
Senkrechte zu einer Geraden g durch U: g
schneide die x-Achse in Q. Die Parallele zu
x1y1 durch P schneide die x-Achse in P', die
durch Q schneide die y-Achse in PQ'. P'Q' ist
das Spiegelbild von g = PQ an der ersten
Winkelhalbierenden. Sei P" der Schnittpunkt
der Parallelen durch P' und Q' zu den Koordinatenachsen.
Dann steht UP" senkrecht
auf g (vgl. Abb. 19).
g
Q'
P
y1
U
P''
x1 P'
Q
Abb. 19
Senkrechte zu g durch einen beliebigen
Punkt R: Diese erhält man als Parallele zu
der eben konstruierten Senkrechten durch
den Punkt R.
Mittelpunkt M = MP(A,B) der Punkte A und
B: Sei C ein Punkt außerhalb von AB und D
ein Punkt auf der Parallelen zu AB durch C.
Sei E = AC∩BD und F = AD∩BC. Aufgrund
der harmonischen Eigenschaften des vollständigen
Vierseits ist dann M = AB∩EF (vgl.
Abb. 20 und Bieberbach 1952).
Mittelsenkrechte MS(A,B) der Punkte A und
B: Dies ist natürlich die Senkrechte auf AB in
M.
Seitenhalbierende und Höhen des Dreiecks
ergeben sich entsprechend. Folglich sind
auch Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt
und Höhenschnittpunkt des Dreiecks schon
allein mit dem Lineal konstruierbar! Dabei
haben wir gesehen, dass man nicht nur, wie
üblich, das Parallelenziehen auf das Lotfällen
zurückführen kann, sondern auch umgekehrt.
Der Einfachheit halber bietet es sich aber an,
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