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Andreas Filler
Dieses Verfahren (Gouraud- bzw. Phong-
Shading, vgl. z.B. Watt 2002 oder Xiang &
Plastock 2003) können die Schüler an dieser
Stelle noch nicht nachvollziehen; — dazu
sind Kenntnisse über das Skalarprodukt und
über Normaleneinheitsvektoren erforderlich.
Zu dieser Erkenntnis führen die im Folgenden
geschilderten — an den Physikunterricht
der Sekundarstufe I anknüpfenden — Überlegungen
zur prinzipiellen Funktionsweise
der 3D-Computergrafik. 13
Die Bildberechnung in hochwertiger 3D-Computergrafiksoftware
wie POV-Ray erfolgt
nach dem Raytracing-Verfahren, bei dem
Verläufe von Lichtstrahlen ausgehend vom
Auge des Beobachters (bzw. der Kamera)
über Spiegelungen an Körpern der Szene
und evtl. Durchdringungen transparenter
Körper hin zu den Lichtquellen zurück verfolgt
werden. Eine kurze Beschreibung des
Verfahrens habe ich in (Filler 2001) sowie auf
der Internetseite [1] gegeben, ausführlichere
Darstellungen finden sich u.a. in (Watt 2002)
und (Xiang & Plastock 2003). Nach einer
kurzen Erläuterung der — recht nahe liegenden
— Funktionsweise des Raytracing liegt
für die Schüler auf der Hand, dass die Berechnung
von Reflexionen entscheidend für
die Generierung computergrafischer Darstellungen
ist. Davon ausgehend wird das Reflexionsgesetz
aus dem Physikunterricht der
Mittelstufe wiederholt. Dieses besagt, dass
Einfallswinkel und Reflexionswinkel maßgleich
sind, wobei der Einfallswinkel α vom
einfallenden Strahl und dem Einfallslot, der
Reflexionswinkel β vom reflektierten Strahl
und dem Einfallslot gebildet wird. Als Einfallslot
wird die auf der spiegelnden Oberfläche
im Auftreffpunkt des einfallenden Strahles errichtete
Senkrechte verstanden (siehe Abb.
17). Teilweise wird hinzugefügt, dass die
beiden Lichtstrahlen und das Einfallslot in einer
Ebene liegen; im Allgemeinen werden jedoch
ebene Versuchsaufbauten als selbstverständlich
vorausgesetzt.
Um das Reflexionsgesetz für allgemeine Anordnungen
im Raum zu formulieren und Verläufe
reflektierter Lichtstrahlen berechnen zu
können, ist es notwendig, Einfallslote für beliebige
Ebenen im Raum anzugeben und
Winkel zwischen diesen Einfallsloten und
13 Es sei hier noch angemerkt, dass die Betrachtung der in der
Computergrafik üblichen Darstellung realer Objekte durch Dreiecksfacetten
— also ebene Oberflächen — als Motivierung für
die ansonsten geometrisch recht bedeutungsarme, im Unterricht
jedoch sehr ausführliche Behandlung der Ebenen dienen kann.
Ein offensichtlich für Computerspiele begeisterter Schüler merkte
bei der Diskussion dieser Thematik im Unterricht an, dass er nun
den Aufdruck "Dreiecksdurchsatz: 4,2 Mill./Sekunde" auf dem
Karton seiner Grafikkarte verstehe.
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Lichtstrahlen in Abhängigkeit von den Richtungsvektoren
auszudrücken. Ausgehend
von diesen Überlegungen wird das Skalarprodukt
zweier Vektoren eingeführt sowie der
Zusammenhang zwischen dem Winkel zwischen
zwei Vektoren und ihrem Skalarprodukt
behandelt. Durch Darstellung von Beispielen,
die in Aufgaben vorkommen, mithilfe
von POV-Ray können die Schüler zumindest
qualitativ den Zusammenhang zwischen dem
Winkel zweier Vektoren, dem Produkt ihrer
Beträge und dem Skalarprodukt erkennen.
Geeignete Anregungen stehen auf der Internetseite
[1] zur Verfügung.
Abb. 17
Bei der Einführung der Normalenvektoren
stellen die Schüler durch die Darstellung
mehrerer Ebenen, die durch Koordinatengleichungen
der Form Ax + By + Cz = D gegeben
sind, und der jeweils zugehörigen
⎛ ⎞
Vektoren ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝C
⎠
BA in POV-Ray fest, dass diese
Vektoren jeweils senkrecht zu den zugehörigen
Ebenen sind. Die betrachteten Koeffizientenvektoren
werden dann als Normalenvektoren
bezeichnet. Anschließend untersuchen
die Schüler die Zusammenhänge zwischen
den Normalen- und den Richtungsvektoren
der Ebenen.
Nach diesen Betrachtungen kann mithilfe des
Skalarproduktes und des Normaleneinheitsvektors
das Reflexionsgesetz nun folgendermaßen
formuliert werden: Ist n r der Normaleneinheitsvektor
der spiegelnden Oberfläche
und sind l r und b r die normierten
Richtungsvektoren des einfallenden bzw. reflektierten
Lichtstrahls, so gilt:
1. n r , l r und b r sind komplanar,
2.
r r
n,
l =
r r
n,
b .
Abb. 18