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• Wählen Sie einen Vektor. Setzen Sie mittels
vektoranpunkt an jeden der von
Ihnen dargestellten Punkte einen Pfeil,
der diesen Vektor beschreibt (Abb. 5).
⎛ 1⎞
• Stellen Sie die Vektoren a =
⎜
−1
⎟
,
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
r
⎛ −2⎞
b =
⎜
3
⎟
⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠
r
als Pfeile so dar, dass der zu a r gehörende
Pfeil im Koordinatenursprung und der
zu b r gehörende Pfeil in der Pfeilspitze
von a r r r
beginnt. Berechnen Sie a + b und
r r
stellen Sie a + b als Pfeil dar, der im Koordinatenursprung
beginnt.
Abb. 6
• Gegeben sind der Punkt P(2;-1;2) und der
⎛ ⎞
Vektor =
⎜ ⎟
⎜
−
⎟
⎝
1
⎠
1
2
a r
.
- Stellen Sie P als pluspunkt und a r
als Pfeil, beginnend an P, dar.
r
- Stellen Sie die Punkte P + 0 , 5⋅
a ,
P a
r
r r
+ , P + 1 , 5⋅
a , P + 2 ⋅ a sowie
r
P − 0 , 5⋅
a , P a
r
r
− , P −1 , 5⋅
a und
r
P − 2 ⋅ a dar.
- Betrachten Sie die Darstellung aus
verschiedenen Richtungen.
Anhand derartiger Aufgaben konnten sich die
Schüler eine anschauliche Vorstellung von
Vektoren im Raum verschaffen, gleichzeitig
stellten sie nach Lösung der letzten Aufgabe
(s. Abb. 7) sofort fest, dass alle genannten
Punkte auf einer Geraden liegen. Nach der
Betrachtung verfeinerter Darstellungen (Abb.
8) und schließlich eines Videos, das die Entstehung
einer Geraden durch kaum noch erkennbare
Punkte zeigt (s. [1]) war ihnen auch
klar, dass man alle Punkte dieser Geraden
erhält, wenn man den gegebenen Vektor
statt mit -2, -1,5, ..., 2 mit beliebigen reellen
Zahlen multipliziert. Somit sind die Schüler
auf visuellem Wege zur Parameterdarstellung
der Geraden gelangt. Die Parameterdarstellung
der Ebene wurde dann etwas später
auf ähnliche Weise erarbeitet. Gerade bei
der Herausarbeitung der Parameterdarstel-
Didaktische Aspekte der Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik
lungen erwiesen sich die computergrafischen
Visualisierungsmöglichkeiten als sehr sinnvoll,
da die Schüler diese Gleichungen so mit
anschaulichen Vorstellungen verbinden.
Abb. 7
Abb. 8
Im weiteren Verlauf des Unterrichts fertigten
die Schüler computergrafische Darstellungen
vor allem an, um die Lage von Objekten im
Raum sowie Lagebeziehungen zu veranschaulichen.
Die im Rahmenplan vorgesehenen
Aufgaben zu Lage- und Schnittberechnungen
wurden somit visuell ergänzt.
• Stellen Sie die Ebene mit der Parameterdarstellung
( , )
0, 5
21 1
2
1 ⎛1⎞
⎛− ⎞ ⎛ − ⎞
: x = ⎜1⎟
+ r ⋅⎜
⎟ + s ⋅⎜
− ⎟ r s ∈ R
⎜1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r
ε dar.
(Nutzen Sie für die Darstellung der Ebene
eine transparente Textur.) Stellen Sie außerdem
den Aufpunkt und die beiden
Richtungsvektoren der Ebene dar.
Fügen Sie der Darstellung die Gerade, die
durch die Punkte A(1;-1;1) und B(-5;1;-2)
verläuft, hinzu. Schätzen Sie — so gut wie
möglich — die Koordinaten des Schnittpunktes
der Geraden und der Ebene.
Auf analoge Weise wurden auch Aufgaben
zur gegenseitigen Lage zweier Ebenen sowie
später zu Normalenvektoren von Ebenen bearbeitet.
8
Im Unterricht wurden Visualisierungen aus
Zeitgründen nur exemplarisch für einige Aufgaben
angefertigt. Viele Schüler nutzten jedoch
die Möglichkeit, Aufgaben der Analyti-
8 Neben diesen Aufgaben und exemplarischen Lösungen befindet
sich auf [1] auch eine etwas komplexere Visualisierung, die das
Verhalten dreier durch Koordinatengleichungen beschriebener
Ebenen bei der Durchführung des Gauss-Algorithmus veranschaulicht.
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