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A
F
Abb. 4
1. scheinen (V1) und (V2) doch nur oberflächlich
ähnliche Situationen und Verhaltensweisen
darzustellen, dem Sinne nach
aber ganz verschieden zu sein,
2. wird man (V1) und (V2) zunächst ganz unterschiedlich
werten: während das abweichende
Verhalten von "Euklid" in (V1)
Ausdruck eines mathematischen Mangels
(Unstetigkeit) zu sein scheint, ist man
wohl geneigt, die mangelnde Erwartungskonformität
von "Cinderella" in (V2) eher
als eine harmlose Kuriosiät zu betrachten.
Beide Ansichten erweisen sich jedoch bei
näherer Betrachtung als falsch:
1. (V1) und (V2) hängen dadurch zusammen,
dass "Cinderella" Situationen vom Typ
(V1) behandelt, indem es sie — und nicht
nur sie! — in Situationen des Typs (V2)
verwandelt.
2. Es wird sich sowohl bei (V1) als auch bei
(V2) zeigen, dass die Bewertung, was tatsächlich
abweichend sein soll und wie
schwer es wiegt, aus guten Gründen anders
ausfallen kann.
Der Zusammenhang zwischen beiden Sondersituationen
wird anhand einer weiteren offenbar:
(V3) Erhöht man den Abstand zwischen E
und A auf 2r, fallen Fo und Fu zusammen.
Verringert man anschließenden den Abstand
wieder, gibt es aus der Anschauung der Situation
heraus offenbar keinerlei sinnvolle
Vorerwartung an das Verhalten von F: Fo und
Fu sind a priori gleichberechtigte Kandidaten
für die Fortsetzung von F! Wenn man denn
überhaupt eine generelle Regel formulieren
will, nach der DGS eigenständig in solchen
Situationen die Entscheidung trifft, bedarf es
dafür einer grundsätzlich anders gearteten
Richtschnur, um unserer geometrischen Anschauung
hierfür die Richtung zu weisen.
E
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
Bedingt vergleichbar ist die Geschichte des
Parallelenaxioms: bemühte man sich schon
seit Euklid um einen Beweis und erwog dabei
durchaus auch seine Verneinung, erwuchs
doch erst aus dem Studium alternativer Modelle
der Geometrie eine Leitlinie, die es ermöglichte,
mit den vormals als bloße Absurditäten
erscheinenden Aussagen der Nichteuklidischen
Geometrie erstmals eine wirkliche
Anschauung zu verbinden (etwa für sich
schneidende Parallelen) und auf dieser
Grundlage tragfähige Alternativen zum Parallelenaxiom
zu formulieren. Zugleich wurde
auch klar, dass es für die Mathematik nicht
darum gehen kann, ein für alle Mal ein solches
Axiom als absolute Wahrheit zu setzen,
sondern dass situativ Maßregeln zu entwickeln
sind, welche Axiome für bestimmte
Zwecke geeignet ist, die jeweilige Situation
zu modellieren. (Bis zu welchem Maßstab
darf ein Kartograph die Erdkrümmung ignorieren
und die Vermessungspunkte einer
Landschaft in einem euklidischen Modell
(Landkarte!) repräsentieren?)
Auch in der Dynamischen Geometrie erwächst
das propagierte Stetigkeitsprinzip aus
einer Modellierung: Kortenkamp & Richter-
Gebert (2001) postulieren, dass ihre funktionentheoretische
Auffassung des Ponceletschen
Kontinuitätsprinzips sowohl eine solche
konzeptionelle Ausdeutung des Zugmodus
liefert als auch zugleich eine Hintergrundtheorie
und gegenüber rein geometrischen
Zugängen anderer DGS stets zu höherer
mathematischer Konsistenz führe, was
auch didaktisch vorteilhaft sei. Wie jedoch
die Beispiele in (Gawlick 2002) zeigen, bewirkt
ihr Ansatz auch diverse Aberrationen
der "Cinderella"-Geometrie von der (Schul-)
Geometrie, die geeignet sind, den Lernprozess
zu beeinträchtigen (vgl. Kap. I.3).
Aber auch schon das obige Beispiel gibt Anlass,
die Zugstrategie von "Cinderella" zu
überdenken: Da Situationen vom Typ (V3)
sich rein geometrisch nicht auflösen lassen,
müssen sie vermieden werden. In "Cinderella"
wird dazu jede Zugbewegung so abgeändert,
dass Situationen des Typs (V2) entstehen,
die sich in der funktionentheoretischen
Modellierung behandeln lassen. Insofern
hängt alles an der Stimmigkeit dieses "Prinzips
der ständigen Verformung": Denn
man wird solch eine nichttriviale Modifikation
des Bewegungsvorganges doch nur dann als
Richtschnur für sein Ergebnis akzeptieren,
wenn sie in einfach nachvollziehbaren Spezialfällen
Ergebnisse liefert, die mit der eigenen
Anschauung übereinstimmen.
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