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I.6 Fazit
Die Autoren von "Cinderella" beantworten die
einleitenden Fragen nach dem korrekten
Verhalten von DGS im Zugmodus auf folgende
neuartige Weise:
(1) Stetigkeit ist im Sinne einer funktionentheoretischen
Interpretation des
Ponceletschen Kontinuitätsprinzips zu
verstehen.
(2) Stetigkeit ist durch geeignete Veränderung
des "Zug-Weges" zu erreichen.
Wir haben gesehen: Die Antwort auf (1) kann
auch durchaus anders ausfallen; — und dafür
gibt es aus mathematischen und historischen
Gründen auch ganz gute Argumente.
Und diese alternative Antwort lässt sich auch
geometrisch realisieren, wenn man sich die
Antwort auf (2) zueigen macht, aber nicht
einseitig auf eine Interpretation verengen
lässt.
II. Geometrie — mit dem
dynamischen Lineal
Der Zug-Modus von "Cinderella" zeigt interessante
Phänomene; — wie sie zustande
kommen, ist aber für (viele) Schüler und (einige)
Lehrer nicht leicht zu verstehen und
lässt sich auch nicht so ohne weiteres aus
einfachen Antworten auf klare Fragen ableiten.
Daher bietet es sich an, weniger nach
der DGS mit dem "richtigen" Zugmodus zu
suchen, sondern vielmehr nach der passenden
Art, das gesuchte Zug-Verhalten einer
Figur konstruktiv zu erzeugen.
II.1 Die Notwendigkeit, den dynamischen
Konstruktionsbegriff
zu restrukturieren
Man betrachte dazu folgendes Beispiel:
Durch Ziehen an den Ecken des Dreiecks
kann man entdecken, dass sich die Winkelhalbierenden
stets im Inkreismittelpunkt I
schneiden. Die "Cinderella"-Version dieser
Konstruktion erlaubt eine überraschende Variante:
zieht man B durch A, bewegt sich I allerdings
manchmal aus dem Dreieck heraus
(Abb. 14).
Offenbar läuft ein solches Verhalten dem Ziel
der interaktiven Satzfindung völlig zuwider
und wirft im geometrischen Einführungsunterricht
der Sekundarstufe I erhebliche didaktische
Probleme auf. Nun könnte man meinen,
dass es sich dabei um nichts anderes
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
Abb. 14
als einen offenbaren Software-Fehler handelt;
— warum also nicht einfach "Cinderella"
debuggen? Es lässt sich aber zeigen (Gawlick
2001), dass das nicht möglich ist: dieses
Verhalten ist eine mathematisch notwendige
Konsequenz der Stetigkeit! Angesichts
der Dichotomie von Stetigkeit und Determinismus
könnte dieser schwer kontrollierbare
Seiteneffekt stetigen Verhaltens für unterrichtliche
Zwecke die Wahl eines deterministischen
Systems als vorteilhaft erscheinen
lassen, — aber wie wir gleich sehen werden,
liegt die Sache noch etwas komplizierter:
Was ist der Ort I des Inkreismittelpunkts I eines
gleichschenkligen Dreiecks ABC, wenn
C den Kreis durch B um A durchläuft? Eine
Konstruktion von I mittels "Euklid" liefert eine
Ortskurve mit einer Singularität, bei der es
sich scheinbar um eine Spitze handelt.
Abb. 15
Warneke (2001) hat jedoch erläutert, wie
man mittels elementarer Trigonometrie eine
Parameterdarstellung für I erhält, aus der
man dann durch algebraische Umformungen
à la Pythagoras eine Gleichung für I gewinnen
kann. Der Gleichung zufolge ist die Kurve
vom Typ der Strophoide; — der singuläre
Punkt muss also ein Doppelpunkt sein!
Durch Plotten der Kurve bemerkt man, dass
der geometrische Ort nur ein Teil des alge-
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