WWW und Mathematik — Lehren und Lernen im Internet

Thomas Gawlick
ein Lineal zu benutzen, mit dem man, wie
gewohnt, Senkrechte konstruieren kann.
110
A M
B
C
F
E
D
Abb. 20
Welche Konsequenzen zieht nun die Durchführbarkeit
der meisten elementargeometrischen
Konstruktionen mit dem Lineal allein
nach sich? Dass man auf den Zirkel weitgehend
verzichten kann, ist ja nichts Neues; —
schon Steiner zeigte, dass sich die üblichen
Konstruktionen allein mit dem Lineal und einem
festen Kreis durchführen lassen. Hier
liegen die Dinge etwas anders: DGS kann ja
in Makros eine Vielzahl von Konstruktionsschritten
zu einem einzigen zusammenfassen;
— dadurch ist es möglich, die effektive
Durchführbarkeit von Linealkonstruktionen
wesentlich zu erhöhen. Die Benutzung einer
DGS entspricht also der Verwendung eines
Rechtwinkellineals, das nicht nur Geraden
zeichnen kann, sondern auch Lote fällen: Mit
dem Rechtwinkellineal lassen sich außer
dem Winkelhalbieren alle elementargeometrischen
Konstruktionen fast ebenso effizient
ausführen wie mit dem Zirkel. In diesem Sinn
gilt also:
Die Elementargeometrie ist eine (Rechtwinkel-)
Linealgeometrie!
Man beachte dabei: Die Mächtigkeit des
Rechtwinkellineals ist nicht größer als die
des gewöhnlichen, sofern die Startpunkte die
metrischen Daten enthalten; — aber es erhöht
die praktische Durchführbarkeit von Linealkonstruktionen.
Was bedeutet diese Einsicht für die Nutzung
von DGS? Auf der positiven Seite gilt: Viele
Konstruktionen lassen sich durchführen, ohne
auf mehrdeutige Operationen wie den
Schnitt mit Kreisen oder das Halbieren von
Winkeln zurückgreifen zu müssen. Das beschränkt
die Auswirkungen des stetigen Verhalten
einer DGS. Das Rechtwinkellineal liefert
stets eindeutige Ergebnisse; — daher
lässt sich damit die Stetigkeitsproblematik
umschiffen. Sie tritt nur auf, wenn sich die
Verwendung von Winkelhalbierenden nicht
vermeiden lässt; — aber in manchen Fällen
ist dennoch sogar die Ortslinie des Inkreismittelpunkts
mit dem Lineal konstruierbar:
II.4 Linealisierung der Strophoide
Aufgrund der Charakterisierung der Linealkurven
als rationale Kurven muss es eine Linealkonstruktion
der Strophoiden geben (die
Rationalität liest man aus ihrer Gleichung ab,
vgl. Gawlick 2004c). Insbesondere ist diese
dann mit deterministischen DGS durchführbar.
Offenbar erhält man dabei aber als geometrischen
Ort nur den im Innern von k liegenden
Teil der Kurve, wenn man verlangt,
dass I der Schnittpunkt von Innenwinkelhalbierenden
ist — und bleibt: dann muss nämlich
die Winkelhalbierende in B beim Passieren
von C durch B um 90° springen. (Verhält
sie sich demgegenüber stetig, so verlassen
bei dieser Bewegung die Winkelhalbierende
wB und der Inkreismittelpunkt das Dreieck!)
Es ist daher nötig, wB und I anders zu interpretieren.
Nur so erhält man die ganze
Strophoide als Ortslinie einer deterministischen
DGS, etwa durch folgende Konstruktion:
Man lässt β = ∠ABC/2 die Bewegung
der Figur steuern, indem man die Winkelhalbierende
um B dreht, — etwa durch Bewegung
des Zugpunktes Z auf einem Kreis um
B (Abb. 21). wA ist lineal-konstruierbar als
MS(B,C). I ergibt sich als Schnitt von wA und
wB. Mit einer Linealkonstruktion des Trägerkreises
von Z ist die Linealkonstruktion der
Strophoide komplett!
wB
II.5 Ausblick
C
γ
α
A
I
Abb. 21
Z
β
Geben wir nun abschließend dem Studium
der lineal-konstruierbaren Kurven seine theoretische
Abrundung: Eine Kurve ist, wie gesagt,
genau dann mit dem Lineal konstruierbar,
wenn sie rational ist, also eine rationale
Parameterdarstellung besitzt. Das ist zunächst
einmal eine gute Eigenschaft: Für rationale
Kurven lassen sich effektiv Gleichungen
ermitteln und Schnittpunkte exakt berechnen.
Damit sind sie für jegliche Art professioneller
geometrischer Datenverarbeitung
das geeignete Terrain. Im Computer Aided
Design (CAD) ist sogar der Begriff "Parametrisierung"
mittlerweile synomyn zu "rati-
A'
B