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Ingmar Lehmann
Lösung:
2π ⋅ r ⋅α
Die Gleichung b = = r·tanα–0,5 lässt
360°
sich nicht geschlossen lösen. Man kann sie
aber numerisch lösen. Mit einem Computer-
Algebra-System ist das kein Problem
(DERIVE: α = 0,3538811189°). Der TI-92 liefert
α = 0,353881176881° als Lösung.
Auch sinnvolles Probieren (mittels TR) führt
uns zur Lösung dieser Gleichung (mit r =
6 366 198 m als Erdradius). Für α = 0,354°
2π ⋅ r ⋅α
stimmen die Terme und r·tanα– 0,5
360°
dann bereits in 8 Ziffern überein.
Das Seil liegt somit knappe (y =) 40 km nach
jeder Seite in der Luft, ehe es sich an den
Äquator anschmiegt. Für die gesuchte Höhe
x = r·( α
2
1
1+ tan –1) = r·( –1) finden wir
cosα
so die bereits angebene Weite (121,5 m).
Jetzt ist das Ergebnis also vom Radius r (und
vom Winkel α) abhängig!
Dieses Resultat ist vielleicht auch deshalb
erstaunlich, weil man intuitiv annimmt, dass
bei einem solchen Erdumfang (von 40 000
km) ein zusätzlicher Meter quasi "verschwinden"
müsste. Aber das ist der Irrtum! Je größer
nämlich die Kugel ist, desto weiter kann
das Seil weggezogen werden.
Gawlick (2001) hebt hervor, dass sich die
Aufgabe als exemplarisches Beispiel zum reflektierten
Umgang mit einem Computer-
Algebra-System eignet. Kirsch (2002) betont,
dass der Fehler des zur Seilverlängerung
1 m gefundenen Abstandes von 121,50 m
1
weniger als von 0,041% beträgt, und das
64
ist jedenfalls weniger als 1 mm!
2.2 Sieben Variationen des
hochgezogenen Seils
Wie in Aufgabe 4 wird statt der Erde ein Apfel,
ein Tischtennisball oder sogar nur eine
Scheibe, etwa eine Euro-Cent-Münze, gewählt.
Aufgabe 17: Die "aufgehängte" Cent-Münze
Ein Faden wird um eine Euro-Cent-Münze
gelegt (Durchmesser 16,25 mm), um 1 m
verlängert und so gezogen, dass er an einer
Stelle maximalen Abstand vom Münzrand
besitzt.
Wie weit lässt sich der Faden hochziehen?
134
Lösung:
Das Ergebnis ist diesmal nicht unerwartet:
Mit α ≈ 89,092° ergibt sich x ≈ 504,6 mm.
Das ist fast das Ergebnis des Extremfalles, in
dem der Radius des Kreises auf Null
schrumpft (x = 0,5 m).
Anschauung und Erfahrung helfen im Falle
der Aufgabe 16 (der "aufgehängten" Erdkugel)
i.Allg. gar nicht weiter; sie stehen einer
Lösung eher im Wege. Im täglichen Leben
abstrahieren wir von der Erdkrümmung; wir
sehen die Umgebung als eben an.
Schwier (1997) hat gezeigt, wie man sich
dennoch dieser unerwarteten Lösung (x ≈
122 m) nähern kann, indem zuvor eine entsprechende
Betrachtung in der Ebene angestellt
wird: (vgl. Abb. 15)
l
+ 0,5
2
C
x
l
+ 0,5
2
A
l
M
l
B
2
2
Abb. 15
Das Seil der Länge l liege straff gespannt
zwischen den Punkten A und B. Wird das
Seil jetzt um 1 m verlängert und in der Mitte
maximal nach oben gezogen, lässt sich dieser
Abstand x leicht berechnen. Ein fast 20
km langes Seil lässt sich bereits fast 100 m
in der Mitte anheben! (Dabei wird natürlich
vernachlässigt, dass sich das Seil bei zu
großer Länge kaum noch geradlinig spannen
ließe.)
Aufgabe 18: Das "aufgehängte" Quadrat
s = u
4
Q
A
y y
x
s u
=
2 8
T
R
s = u
4
Abb. 16
S
B