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Thomas Gawlick
braischen Orts ist: man erhält nur den Teil
der Kurve, der sich im Innern des Kreises befindet.
Dies widerspricht der gewohnten Auffassung
der Cartesischen Korrespondenz,
wonach jeder geometrisch erzeugte Ort sich
in Koordinaten als Nullstellenmenge einer
geeigneten, zumeist algebraischen Gleichung
beschreiben lässt.
Man ist zunächst versucht zu folgern, dass
das kontinuierliche Verhalten von "Cinderella"
hier ein didaktischer Vorteil ist, da es den
gesamten Ort zu erzeugen erlaubt (Abb. 16).
Aber der Preis, den man dafür zahlen muss,
lautet: Akzeptiere, dass der Inkreismittelpunkt
I sich bei jedem zweiten Durchlauf aus
dem Dreieck ABC herausbewegt!
Im Grunde wird durch das stetige Verhalten
von "Cinderella" hier auch eine Kontinuität
der Konstruktion vorgetäuscht, die so nicht
gegeben ist: offenbar hört I ja "unterwegs"
auf, der Inkreismittelpunkt des Dreiecks zu
sein; — aber was repräsentiert I denn dann?
Beim Ziehen wird ja die Innen- stetig in die
Außenwinkelhalbierende überführt, I wird also
zum Ankreismittelpunkt!
An der Stelle wird deutlich, dass derartige
Phänomene allein durch die Wahl der Zug-
Strategie nicht zufriedenstellend geklärt werden
können, sondern dass ein neuer Begriff
von Konstruktion erforderlich ist: Eine dynamische
Konstruktion hat offenbar einen Gültigkeitsbereich,
der sowohl von der Lage der
Ausgangspunkte als auch von ihrer "Geschichte"
abhängt. Dafür gibt es in der statischen
Geometrie keine Parallele.
Auf der Basis des gewohnten Konstruktionsbegriffs
lässt sich die obige Schwierigkeit jedoch
ebenfalls beheben; — wenn man die
gewohnte Konstruktion der Strophoide durch
eine Linealkonstruktion ersetzt, wird auch
von deterministischen DGS die ganze Ortslinie
erzeugt!
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Abb. 16
II.2 Dynamische Linealkonstruktionen
Gewöhnlich beschreibt man die Mächtigkeit
eines Zeichengeräts durch die Menge der mit
ihm konstruierbaren Punkte. Dann gilt bekanntlich
(Bieberbach 1952) der
Satz: Die Koordinaten der mit dem Lineal
konstruierbaren Punkte sind genau die, die
sich durch rationale Ausdrücke in den Koordinaten
der gegebenen Punkte beschreiben
lassen.
Ein neues Element tritt jedoch
dann hinzu, wenn man
die Beweglichkeit der gegebenen
Punkte zu erfassen
sucht.
Variiert ein Punkt P auf einer
Geraden, sind seine Koordinaten
lineare Funktionen eines
Parameters t, die wir mit diesem
halbfreien Punkt identifizieren
können. Ein Punkt Q,
der aus P und weiteren festen
Punkten allein mit Hilfe des Lineals
konstruiert ist, hat Koordinaten,
die rationale Funktionen
von t sind. Die Ortslinie von Q bei Variation
von P nennen wir dynamisches Linealkonstrukt.
Den bekannten Satz über die
Konstruierbarkeit mit dem Lineal können wir
daher so dynamisieren.
Satz über dynamische Linealkonstrukte:
Die dynamischen Linealkonstrukte
sind genau die Ortslinien, für die es eine
rationale Parameterdarstellung gibt.
Überraschend ist nun, wie groß die Klasse
der Ortlinien mit diesen beiden äquivalenten
Eigenschaften ist; — zunächst einmal erweist
sich der Kreis als dynamisches Linealkonstrukt:
Dies haben wir in (Gawlick 2004a) auf
dreierlei Art sowohl algebraisch als auch geometrisch
gezeigt. Am einfachsten zugänglich
ist wohl folgende Anwendung der Umkehrung
des Satzes von Thales: Sind P und
Q diametrale Punkte des Kreises k und
durchläuft R eine von PQ verschiedene Gerade
g, so durchläuft der Schnittpunkt S von
PR und des Lots aus Q auf PR den Kreis, —
der umgekehrt so mit dem Lineal allein rekonstruiert
werden kann (vgl. Abb. 17)!
Aber auch die algebraische Zugangsweise
vermittelt wertvolle Einsichten: Für den Beweis
der obigen Sätze überlegt man sich ja,
dass sich mit Hilfe des Lineals alle vier
Grundrechenarten geometrisch realisieren
lassen. Zur konkreten Durchführung der in
(Gawlick 2004a) erläuterten Konstruktionen