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Verkleinern wir den (Ausgangs-) Kreis weiter,
schrumpft der Äquator schließlich zu einem
Punkt zusammen; d.h., in diesem Extremfall
haben Äquator und Radius die Länge Null.
Das Ergebnis bleibt dennoch dasselbe. Jetzt
wird die "Verlängerung" (um 1 m) selbst zum
(Kreis-) Umfang und dessen Radius der gesuchte
Abstand a.
Aufgabe 5: Zwei Münzen bilden eine "8":
1 € und 1 c
Eine 1-Euro-Münze und eine 1-Cent-Münze
werden nebeneinander auf einen Tisch gelegt.
Um beide Münzen wird ein Faden in
Form zweier Kreise — wie eine Acht ("8") —
gespannt, wobei der Faden um 1 m [zum
Ausprobieren evtl. besser 10 cm] länger ist
als beide Münzumfänge zusammen.
(Durchmesser: 1€: d€ = 25,75 mm; 1c: dc =
16,25 mm)
Welchen Abstand hat der Faden vom jeweiligen
Münzrand? (vgl. Abb. 4)
MC Cent
r E
M E
Euro
r C
Abb. 4
b
k 2 Faden
a
k 1 Faden
Lösung:
Viele Schüler argumentieren richtig, dass
jetzt zwei Kreise "mitspielen", also die Verlängerung
um 1 m nicht durch 2π sondern
durch 2 . 2π zu teilen sei, also für den Abstand
1 . 1 1
gelten muss: a = = [m] (≈ 8 cm).
2 2π
4π
Das ist allerdings nur dann richtig, wenn zusätzlich
gefordert wird, dass der Faden zu
beiden Münzen denselben Abstand haben
soll.
Dynamische Visualisierung einer Aufgabe (in Variationen)
Mit 2πr€+2πrc+1 = 2πr€+2πrc+2πa+2πb folgt
1
unmittelbar a+b = .
2π
Es gibt also unendlich viele Lösungen. Für
1
a = b erhalten wir a ( = b ) = [m] ≈ 8 [cm].
4π
1.3 Vier "künstliche", aber wirkungsvolle
Variationen von
Aufgabe 1
Statt des Äquators (bzw. eines Kreises) wird
ein Quadrat gewählt. Dieser Vorschlag geht
auf Winter (1991) zurück:
"Eine produktive anschauliche Aufklärung
besteht darin, die Kreissituation auf eine analoge
Quadratsituation zu übertragen (Analogie
des Heurismus!) ..."
Aufgabe 6: Ein Seil um ein Quadrat
Um ein Quadrat wird ein Fadenquadrat gespannt,
das um 1 m länger ist als der gegebene
Quadratumfang. Der Faden wird dabei
so gespannt, dass die jeweiligen Quadratseiten
zueinander parallel sind (vgl. Abb. 5).
s
s
Abb. 5
Welchen Abstand a hat der Faden vom
Quadratrand? Genauer: Welchen Abstand a
haben die jeweiligen zueinander parallelen
Quadratseiten?
Lösung:
Die Abbildung zeigt deutlich, wie sich die
Überhänge des Fadenquadrates, also die
Zugabe von 1 m, auf 8 gleich lange Stücke
an den 4 Ecken verteilen.
Mit 4s+1 = 4s+8a folgt unmittelbar 1 = 8a; also
muss der Abstand a = 12,5 cm betragen.
s
a
a
a
s
a
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