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Thomas Gawlick
Kreisbogen liegt, nicht als Gleichung formuliert
werden kann.
• Ebenso wenig lässt sich der bekannte
(fehlerhafte) Beweis, dass alle Dreiecke
gleichschenklig sind, in dieser Sprache
untersuchen, da sie keinen Ausdruck dafür
hat, ob ein Punkt inner- oder außerhalb
eines Dreiecks liegt.
In der Arbeit (Gawlick 2002) wurden weitere
Aberrationen der "Cinderella"-Geometrie gezeigt.
Ein lehrreiches Beispiel wird auch in
Teil II. genauer analysiert.
Darüber hinaus weiß man heute, dass es
aber auch Sätze gibt, die im Komplexen
falsch werden, ohne dass sie auf solchen
Lagebezeichnungen beruhen, z.B. der folgende
Satz (MacLane):
Seien A0, ..., A7 Punkte mit Ai+3∈AiAi+1 für
i=0,…,7 (alle Indizes mod 8). Dann sind
A0, ..., A7 kollinear.
Dies merkt man allerdings in der Regel nicht,
da eine solche Konfiguration sich mit "Cinderella"
wohl nur im Reellen erstellen lässt (sollte
dem Leser dennoch ein Trick zur Realisierung
einer nichtkollinearen komplexen Mac-
Lane-Konfiguration in "Cinderella" einfallen,
möge er dies dem Vf. mitteilen!). Wer sich
auf die (ohnehin nur probabilistisch) von
"Cinderella" verifizierte Zugfestigkeit dieser
Aussage verlässt, erliegt also einem kategorialen
Irrtum!
Auf diesem Hintergrund stellt sich die Frage,
ob die von Klein propagierte Auffassung der
Elementargeometrie als komplex-analytische
Geometrie nicht doch zu kurz greift. Und ein
historischer Rückblick zeigt, dass diese Kalkülisierung
des Prinzips auch keineswegs so
zwangsläufig ist, wie Klein es nahe legt: Eine
Theorie imaginärer (Schnitt-) Punkte, die für
die Dynamische Geometrie natürlich benötigt
wird, lässt sich ja nämlich auch rein synthetisch
betreiben, wie von Staudt (1856) gezeigt
hat. Aber auf diese Weise vermeidet
man natürlich ebenso wenig das in Kap. I.1
geschilderte Dilemma. Hier offenbart sich,
dass die didaktisch scheinbar so nutzbringende
Konkretisierung vorgestellter Veränderungen
durch reale Bilder in gewissem Sinne
den Teufel mit dem Beelzebub austreibt, weil
die Fülle der mit ihr erzeugten Bilder so recht
auf keinen theoretischen Begriff mehr zu
bringen ist. Nahe gelegt wird diese Sicht der
Dinge u.a. von den prophetischen Worten eines
historischen Protagonisten des Ponceletschen
Kontinuitätsprinzips:
"Die alte Geometrie strotzt von Figuren.
Das Raisonnement darin ist einfach. ...
Man hat aber die Unbequemlichkeit dieser
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Verfahrungsart erfahren durch die
Schwierigkeit der Construction gewisser
Figuren und durch die Complication, welche
das Verständnis mühsam und beschwerlich
macht. ... Man muss sich hiernach
fragen, ob es nicht auch in der reinen
und speculativen Geometrie eine Art
des Raisonnements gäbe, wobei nicht
beständig Figuren nöthig wären, deren
wirkliche Unbequemlichkeit, selbst wenn
die Konstruktion leicht ist, doch immer
darin besteht, den Geist zu ermüden und
die Gedanken zu hemmen." (Chasles
1839)
Selbst wenn eine DGS für sich in Anspruch
nehmen könnte, das Ponceletsche Kontinuitätsprinzip
getreuer als andere zu realisieren
— gemäß einer definitiven Lesart, die freilich
immer noch zu ermitteln bliebe! —, wäre damit
noch keineswegs der Intention dieses
Prinzips entsprochen, das offenbar doch ersonnen
wurde, um sich von der Vielfältigkeit
konkreter Figuren nicht den Blick verstellen
zu lassen.
Es ist in diesem Zusammenhang sehr bemerkenswert,
dass sowohl Leibniz als auch
Poncelet sich zwar ausführlichst über die philosophische
Begründung des Kontinuitätsprinzips
äußern, die Anwendung auf konkrete
Situationen aber stets nur knapp und vage
beschreiben. Insbesondere verlieren beide
nach Kenntnis des Vf. kein einziges Wort
darauf, die Schwierigkeit in Kap. I.1 (oder
ähnlich simplen Situationen) auch nur anzudeuten,
geschweige denn aufzulösen. Dennoch
wäre sie sicherlich diesen Geistesgrößen
(aber auch ihren Nachfolgern) nicht entgangen;
— wenn sie sich denn einer solch
konkreten Betrachtung figürlicher Veränderung
überhaupt unterzogen hätten. Hierfür
fehlte ihnen aber doch wohl weniger das
rechte Werkzeug als vielmehr das Bedürfnis!
Bei Leibniz gibt es i.W. überhaupt nur ein
geometrisches Beispiel: die bewegte Variation
eines Kegelschnitts. Er kommt dabei zur
Herleitung von Tangenteneigenschaften
auch auf das Verhalten von Schnittpunkten
zu sprechen: "Nun kann die den Kreis
schneidende Gerade so bewegt werden,
dass sie mehr und mehr aus diesem heraustritt
und sich die Schnittpunkte mehr und
mehr einander nähern, bis sie schließlich
koinzidieren, in welchem Fall die Gerade den
Kreis verlässt und zur Tangente wird" (Leibniz
1687 & 1996, 192f). Dieses Verhalten
wird auf Kegelschnitte übertragen: "Wenn
deshalb die Gerade den Kreis berührt, wird
auch die Projektion der Geraden den zugehörigen
Kegelschnitt tangieren. Auf diese