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Ingmar Lehmann
sodass sich die Gleichung 2πr+1 = 2π(r+a)
ergibt. Mit 2πr+1 = 2π(r+a) = 2πr+2πa folgt
1
unmittelbar 1 = 2πa, also a = .
2π
Da alle Längen in Meter angegeben worden
sind, erhalten wir
a = 0,1591549430 ... m ≈ 16 cm.
Das ist für die Schüler paradox. Das Ergebnis
ist vom Radius r (der Erde) unabhängig;
— und gerade dieser Sachverhalt widerspricht
der Erwartung.
Man kann dieses für die Schüler paradoxe
Resultat auch folgendermaßen formulieren:
Für die Differenz der Umfänge zweier konzentrischer
Kreise mit den Radien r1 und r2
sowie dem Abstand a gilt
u1–u2 = 2πr1–2πr2 = 2π(r2+a)–2πr2 = 2πa,
d.h., diese Differenz der Umfänge ist konstant,
wenn die beiden konzentrischen Kreise
nur denselben Abstand voneinander haben.
Das Ergebnis veranlasst Schüler sogar, die
ganze Rechnung zu wiederholen, — um den
vermeintlichen Fehler zu entdecken!
Das ist ein guter Grund, mit dieser Aufgabe
in die Thematik "Umfang von Kreisen" zu
starten. Walsch (2000) schreibt dazu:
"Die Aufgabe ist zwar nicht auf vordergründige
Art 'realitätsnah'. Sie trägt aber dazu bei,
geometrisches Vorstellungsvermögen zu fördern,
zu kritischer Distanz gegenüber intuitiven
Urteilen zu erziehen, Einsichten in theoretische
Zusammenhänge zu gewinnen (hier
insbesondere die Unabhängigkeit des Abstandes
vom Radius der Kugel zu erkennen),
das Arbeiten mit dem 'mathematischen
Handwerkszeug' zu üben."
Mit dieser Aufgabe gelingt es in jedem Fall,
Interesse und Aktivität der Schüler zu wecken.
1.2 Vier "natürliche" Variationen
von Aufgabe 1
Aufgabe 2: Der Abstand des Seils zum
Äquator ist gegeben
Um den Äquator wird konzentrisch ein Seil
gespannt, das einen Abstand von 1 m von
der Erdoberfläche hat. Wie lang ist das Seil?
Lösung:
Für die Differenz der Umfänge gilt
lSeil–uÄquator = 2π(r+a) – 2πr = 2πa = 2π.
128
Das Seil wäre dann nur etwas mehr als 6 m
länger als der Äquator. Es hätte also die Länge
lSeil = 2π(r+a) ≈ 40 000 006,28 [m].
Ein Flugzeug umrundet bei konstanter Flughöhe
von 10 000 m einmal die Erde (den
Äquator). Wie lang ist die Flugstrecke?
Aufgabe 3: Ein Mensch unterquert am
Äquator das Seil
Um den Äquator wird konzentrisch ein Seil
gespannt. Um wie viel Meter/Kilometer müsste
man dieses Seil verlängern, damit jeder
Mensch aufrecht das (konzentrisch um den
Äquator gespannte) Seil unterqueren könnte?
Lösung:
Das ist Aufgabe 2 in anderem Gewand:
Seil Äquator
lSeil–uÄquator = 2πa bzw. a =
2π
u l −
.
Das Seil müsste höchstens 16 m länger als
der Äquator sein (a ≈ 2,55 m).
Aufgabe 4: Ein Apfel statt der Erde
Um einen Apfel (oder eine Münze) wird konzentrisch
ein Faden gespannt, der um 1 m
länger ist als der Apfelumfang (Münzumfang)
selbst. Welchen Abstand a hat der Faden
vom Apfelrand (vom Münzrand)?
Lösung: (vgl. Abb. 3)
Das Ergebnis, dass der Abstand a vom Radius
(der Erde, eines Apfels oder eines
Tischtennisballs) unabhängig ist, wird auf
diese Weise besonders anschaulich bestätigt.
Der Abstand a hängt lediglich von der
gewählten Verlängerung (1 m) des Umfangs
1
ab: a = ≈ 16 [cm].
2π
Abb. 3