WWW und Mathematik — Lehren und Lernen im Internet

• In vielen Fällen ist auch die Auswahl ähnlicher
Helligkeitswerte sinnvoll.
• Für korrespondierende Grafikelemente ist
die Auswahl komplementärer Farben (H-
Differenz 180°) bzw. von Farben mit H-
°
Differenzen von m ⋅
n
360 (für n Grafikelemente,
m = 1,...,n) sinnvoll.
Die Beschreibung von Farben durch Vektoren
kann dazu beitragen, dass die Schüler
die Bedeutung des Vektorbegriffes etwas
umfassender sehen und ein Beispiel für die
sinnvolle und offensichtlich nützliche geometrische
Interpretation eines nichtgeometrischen
Sachverhaltes kennen lernen. Die n-
Tupel bilden dabei ein "Bindeglied" zwischen
sehr verschiedenen Bedeutungen, die Vektoren
haben können. 12
6 Grundlagen der Computergrafik:
Skalarprodukt
und Normalenvektoren
Computergrafische Anwendungen können für
die Motivierung zentraler Inhalte der Analytischen
Geometrie genutzt werden. Besonders
bietet sich dies bei der Behandlung des Skalarproduktes
und des Winkels zwischen Vektoren
sowie von Normalen(einheits-)vektoren
an. Dabei sollte aber die Frage, wie die Software
Bilder berechnet, nicht nur theoretisch
diskutiert werden. Die Schüler können den
praktischen Nutzen des Verständnisses dieser
Zusammenhänge anhand von Möglichkeiten
erfahren, die sie dadurch für die Gestaltung
von Oberflächen und die bewusste
Wahl dafür geeigneter Parameter — letztlich
also für die Erstellung eigener Bilder — gewinnen.
Ausgangspunkte der Betrachtungen
zum Skalarprodukt und zu Normalenvektoren
bilden die folgenden Fragen:
• Wie werden geometrisch komplizierte "reale"
Objekte wie z.B. Menschen und Tiere
in der Computergrafik beschrieben und
dargestellt?
12 Den Vektorbegriff unmittelbar am Anfang des Stoffgebietes Analytische
Geometrie zu thematisieren, erscheint m.E. nicht empfehlenswert.
Anhand der Beschreibung von Punkten und einfachen
geometrischen Objekten durch Koordinaten finden die
Schüler einen anschaulicheren und einfacheren Einstieg in die
Analytische Geometrie (s. z.B. Filler & Wittmann 2003), als wenn
gleich am Anfang der vergleichsweise abstrakte Vektorbegriff
"auf Vorrat" eingeführt wird. Eine spätere Zusammenfassung der
verschiedenen Auffassungen und Anwendungen von Vektoren
(Zahlentripel, Klassen bzw. Mengen von Pfeilen, Kräfte, Verschiebungen,
Farben) bietet sich an, um den Schülern einen
Einblick in Leistungsfähigkeit und Universalität des Vektorbegriffs
zu vermitteln.
Didaktische Aspekte der Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik
• Wie wird das Aussehen von Oberflächen
— über die Farbgebung hinaus — modelliert?
Wodurch unterscheiden sich spiegelnde
von matten, glänzende von rauen
Oberflächen?
Indem die Schüler den POV-Ray-Quelltext
eines komplexeren dreidimensionalen Modells
analysieren, stellen sie fest, dass Objekte
durch die Vereinigung einer großen
Zahl von Dreiecken dargestellt werden. Der
in Abb. 15 dargestellte Fisch besteht z.B. aus
ca. 6000 Zeilen der Form
triangle { ,
,
} .
Abb. 15
Bei der Berechnung des Bildes in POV-Ray
sind die dreieckigen Facetten deutlich erkennbar.
Bereits an dieser Stelle können die
Schüler eine Datei analysieren, bei der dieses
Problem gelöst wurde — der in Abb. 16
dargestellte Fisch besteht aus ebenso vielen,
jedoch "geglätteten" Dreiecken:
Abb. 16
smooth_triangle {
,
,
,
,
,
}
Bei dieser Darstellung wird zu jedem Eckpunkt
ein aus den anliegenden Dreiecksfacetten
gemittelter Normaleneinheitsvektor
angegeben. Aus den zu den Eckpunkten gehörenden
Normalenvektoren werden beim
Rendern die Helligkeits- bzw. Farbwerte der
einzelnen Oberflächenpunkte interpoliert.
91