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Andreas Filler
4 Nutzung einer Grafiksoftware
zur Visualisierung
herkömmlicher Inhalte
des Stoffgebietes
Nach dem skizzierten, insgesamt 6 Unterrichtsstunden
umfassenden Einstieg in das
Stoffgebiet Analytische Geometrie über Anwendungen
der räumlichen Koordinatengeometrie
wurde mit der Behandlung der durch
den Rahmenplan vorgegebenen Inhalte des
Stoffgebiets (Geraden, Ebenen und ihre Lagebeziehungen)
begonnen. Die Erfahrungen
mit der Bedienung von POV-Ray, welche die
Schüler sich vorher aneigneten, nutzten sie
dabei, um ergänzend zur rechnerischen Behandlung
von Aufgaben der Analytischen
Geometrie Visualisierungen anzufertigen und
damit ihre Ergebnisse zu überprüfen oder zu
Vermutungen hinsichtlich bestimmter Zusammenhänge
zu gelangen.
Da POV-Ray als fotorealistisches Grafikprogramm
und nicht als Visualisierungswerkzeug
für Zusammenhänge der Analytischen
Geometrie vorgesehen ist, müssen Punkte
als kleine Kugeln, Pfeile (die Vektoren repräsentieren
sollen) als Vereinigungen von Zylindern
mit Kegeln, Strecken als Zylinder mit
geringem Radius, Geraden als Zylinder, die
über die Grenzen des Bildes hinausreichen,
und Ebenen z.B. als dünne Quader dargestellt
werden. Allerdings wäre es im Rahmen
der zur Verfügung stehenden Zeit für die
Schüler nicht möglich, jeweils selbst mit diesen
"Ersatzobjekten" zu arbeiten. Aus diesem
Grunde habe ich eine Sammlung von
Makros und eine Vorlagendatei erstellt, die
es den Schülern ermöglichen, unmittelbar
Punkte (wahlweise einschließlich der Projektion
auf die x-y-Ebene und der Lote auf die
Koordinatenachsen), Vektoren (als Pfeile),
Strecken, Geraden sowie Ebenen (anhand
einer Parameterdarstellung oder durch die
Koeffizienten einer Koordinatengleichung)
darzustellen. Im Einzelnen stehen folgende
Befehle zur Verfügung:
punkt(,textur)
Punkt (als kleine Kugel dargestellt),
pluspunkt(,textur)
Punkt mit Lot auf die x-y-Ebene und Verbindungsstrecken
zu den Koordinatenachsen,
ortsvektor(,textur)
Ortsvektor des Punktes P,
verbindungsvektor(,,textur)
Verbindungsvektor der Punkte P und Q,
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vektoranpunkt (,, textur)
Pfeildarstellung des Vektors x r , angetragen an den
Punkt P,
strecke(,,textur)
Strecke mit den Endpunkten P und Q,
gerade (,,textur)
Gerade durch die Punkte P und Q,
ebenepar (,,,textur)
Ebene durch P mit Richtungsvektoren a r und b r ,
ebene (A,B,C,D,textur)
Ebene mit der Gleichung Ax+By+Cz+D=0.
An Stelle von bzw. sind jeweils die
Koordinaten des Punktes bzw. Vektors einzugeben.
Für textur müssen die Schüler
jeweils — wie oben beschrieben — ein
Schlüsselwort für die Oberflächenerscheinung
des betreffenden Objekts angeben. Insbesondere
für Ebenen können sie dazu auch
transparente Texturen verwenden. 6
Nach einer Zusammenfassung den Schülern
bereits bekannter Aspekte des Vektorbegriffs
bearbeiteten sie eine Folge von Aufgaben
zur Darstellung von Vektoren als Pfeile, zu
Orts- und Verbindungsvektoren sowie zur
Vektoraddition, welche letztlich zur Parameterdarstellung
der Geraden führt. 7
Abb. 5
• Stellen Sie 4 Punkte als pluspunkt dar,
blenden Sie das Koordinatenkreuz ein.
6 Das Makropaket für POV-Ray und die Vorlage stehen — zusammen
mit einer kurzen Anleitung für die Nutzung und einer Dokumentation
der Befehle — auf meiner Internetseite [1] zur Verfügung.
Für den Fall, dass ein Grafikprogramm nur für die Veranschaulichung
traditioneller Inhalte des Stoffgebietes genutzt, die
Computergrafik also nicht thematisiert wird, können auch einfachere
Programme, die speziell für das Stoffgebiet Analytische Geometrie
entwickelt wurden, zum Einsatz kommen (z.B. DreiDGeo, s.
Andraschko 2001). Die Verwendung von POV-Ray (im Zusammenhang
mit geeigneten Makros und Vorlagen) bietet sich im Kontext
mit den anderen hier unterbreiteten Vorschlägen zum Einstieg
in das Stoffgebiet sowie zu weitergehenden Überlegungen zur
Computergrafik an.
7 Im Folgenden werden nur einige repräsentative Aufgaben und
mögliche Lösungen dargestellt. Eine umfangreichere Sammlung
von Aufgaben kann unter [1] heruntergeladen werden. Die Abbildungen
5 – 9 wurden von Schülern bei der Lösung der Aufgaben
erstellt.