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Thomas Gawlick
führt, sondern durch eine Sequenz komplexer
Kreisbögen zwischen den Interpolationspunkten
des Mauszeigers ersetzt.
All dies könnte als nachrangiges Implementationsdetail
hier unerwähnt bleiben, — wenn
es denn eines wäre! Dazu müsste aber gesichert
sein, dass diese Ersetzung jeder
durchgeführten Bewegung durch einen komplexen
Umweg tatsächlich nichts Wesentliches
verändert oder höchstens verbessert.
Das sollte bedeuten:
• War die Ersetzung "unnötig" (keine Ausnahmesituation
auf dem Weg des Benutzers),
kommt Dasselbe heraus, wie wenn
nicht ersetzt wird.
• War die Ersetzung "nötig" (Ausnahmesituation
auf dem Weg), ist dieser Vergleich
nicht möglich, daher sollte gelten:
A) Für die Ersetzung gibt es im Wesentlichen
nur eine Möglichkeit.
B) Bei der vorgenommenen Ersetzung
sollte Dasselbe herauskommen wie
bei anderen Umwegen, — d.h.: durch
stetige Verformung des Ersetzungsweges
sollen die Zugfiguren ineinander
überführbar sein, also (sD) erfüllen:
Genau das ist aber Beides nicht der Fall:
A) Wie wir sehen werden, gibt es eine
geometrisch naheliegende Variante
der Ersetzungsstrategie; — reelle statt
komplexe Umwege! — die zu einem
abweichenden Ergebnis führt,
B) im Fall der Zweikreisfigur zeigt sich,
dass der von Cinderella gewählte komplexe
Umweg (sD) verletzt.
Wir weisen zunächst B) nach: Der obstruierte
Weg ut wird in einer ε-Umgebung der Ausnahmestelle
t=1/2 durch ein komplexes
Kreisbogenstück u't(ε) ersetzt. Für ε→0 gilt
dann u't(ε)→u (Abb. 9). Wenn sich die Wege
u't(ε) der unabhängigen Punkte hochheben
104
Abb. 8
x
Im_x
A E
lassen zu stetigen Wegen a't(ε) der abhängigen
Punkte und diese Wege für ε→0 ebenfalls
gegen einen Weg a' konvergieren, lässt
sich dieser Folgengrenzwert in sinnvoller
Wiese als Ersatz für die Hochhebung des
obstruierten Weges ut verwenden. Und definitionsgemäß
gilt dann a'(ε)→a', so dass wenigsten
für diese Folge (sD) erfüllt ist:
u'(ε) � a'(ε)
↓ ε→0 ↓
u � a'
Wie sieht es aber mit anderen Wegen aus?
Dazu folgt die Bestimmung von a' im Beispiel.
Für ε=1/2 zeigt Abb. 10 die Abänderung
von ut durch u't(ε). Der Einfachheit halber
rechnen wir im Folgenden aber nur mit
ε=1. — Bei der Bewegung des Punktes E
von u0=E0=(1,0) nach u1=E1=(-1,0) wird dann
y
F
Abb. 9
ε→ 0
im_x
u'(ε)
A u
Abb. 10
E
1
x