MEW-Band-31 - Marx wirklich studieren!

der Kurve neben m. Fälle ich ein Perpendikel np auf die Achse, so muß p
der unendlich nächste Punkt zu P sein und np die unendlich nächste
Parallellinie zu mP. Fälle nun ein unendlich kleines Perpendikel mR auf np.
Nimmst Du nun die Abszisse AP ... x und die Ordinate mP ... y, so ist
np = mP (oder Rp) vermehrt um ein unendlich kleines Inkrement [nR],
oder [nR] = dy (Differential von y) und mR (= Pp) = dx. Da der Teil
der Tangente mn unendlich klein ist, fällt er zusammen mit dem entsprechenden
Teil der Kurve selbst. Ich kann also mnR als ein A (Dreieck)
betrachten, und die A mnR und mTP sind ähnliche Dreiecke. Daher:
dy (= nR): dx (= mR) = y (mP): PT (welches die Subtangente der Tandx
gente Tm ist). Also ist die Subtangente PT = y -j-. Dies ist nun die alldy
gemeine Differentialgleichung für alle Tangen[ten]punkte aller Kurven. Soll
ich nun mit dieser Gleichung weiteroperieren und dadurch die Größe der
Subtangente PT bestimmen (habe ich diese, so brauche ich bloß die Punkte
T und m durch eine grade Linie zu verbinden, um die Tangente zu haben),
so muß ich wissen, welches der spezifische Charakter der Kurve [ist], Ihrem
Charakter gemäß (als Parabole, Ellipse, Zissoide usw.) hat sie eine bestimmte
allgemeine Gleichung für ihre Ordinate und Abszisse von jedem
Punkt, die man aus der algebraischen Geometrie kennt. Ist also z.B. die
Kurve mAo eine Parabole, so weiß ich, daß y2 (y = die Ordinate von jedem
beliebigen Punkt) = ax, wo a der Parameter der Parabole und x die der
Ordinate y entsprechende Abszisse.
Setze ich diesen Wert von y in die Gleichung PT = y —j-, dx so muß ich
dy
also zunächst suchen dy, d.h. den Differential von y (den Ausdruck, den y
in seinem unendlich kleinen Wachstum annimmt) zu finden. Ist y2 = ax,
so weiß ich aus dem Differentialkalkül, daß d(y2) = d(ax) (ich muß natürlich
beide Seiten der Gleichung differenzieren) ergibt 2y dy = a dx (d heißt
immer Differential). Also dx = 2y dy . Setze ich diesen Wert von dx in die
a
Formel PT = r", so erhalte ich PT = - = — = (da y 2 = ax)
dy a dy a
= 2x. Oder die Subtangente jedes Punktes m in der Parabole = der
a
doppelten Abszisse vom selben Punkt. Die Differentialgrößen verschwinden
in der Operation.