Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

156 6 Identifikation von dynamischen Nichtlinearitäten
6.1 Motivation zur Einführung von dynamischen Nichtlinearitäten
Bei der Modellierung eines Systems werden häufig nur die dominierenden linearen
Parameter sowie statischen Nichtlinearitäten berücksichtigt. Diese Modellierung
wird anschließend zur Entwicklung eines strukturierten rekurrenten Netzes verwendet.
Oftmals handelt es sich jedoch nicht um rein statische Nichtlinearitäten. Der
Einfluss der Nichtlinearitäten auf das restliche System erfolgt verzögert bzw. mit einer
bestimmten Dynamik. Dieser Fall kann als dynamische Nichtlinearität aufgefasst
werden, welche sich sehr gut mit Hilfe eines Hammerstein-Modells beschreiben lässt.
Wird das Hammerstein-Modell in ein strukturiertes rekurrentes Netz integriert, so
lässt sich die dynamische Nichtlinearität zusammen mit weiteren statischen Nichtlinearitäten
sowie den linearen Parametern identifizieren.
Separiert man die dynamische Nichtlinearität in eine statische Nichtlinearität und
eine lineare Übertragungsfunktion, kann die dynamische Nichtlinearität prinzipiell
in dem rekurrenten Netz als statische Nichtlinearität und als lineare Übertragungsfunktion
gelernt werden, indem die lineare Übertragungsfunktion in der Systemmatrix
Ârek des strukturierten rekurrenten Netzes berücksichtigt wird. In diesem Fall
wird das strukturierte rekurrente Netz umfangreicher, und damit erhöhen sich die
Konvergenzzeiten deutlich. Voraussetzung für diese Vorgehensweise ist jedoch, dass
die Struktur der zusätzlichen Dynamik bekannt ist.
6.2 Hammerstein-Modell und statische Neuronale Netze
In dem in Kapitel 2.5 vorgestellten Ansatz zur Identifikation eines Hammerstein-
Modells wurde die statische Nichtlinearität durch ein Polynom q-ten Grades approximiert.
Muss zur Approximation der Grad der Nichtlinearität sehr hoch gewählt
werden, z. B. bei den sehr häufig auftretenden Sättigungskennlinien, führt dies in der
Praxis oft zu schlechten Ergebnissen, da das Polynom zu Schwingungen neigt [Hof-
PSfrag mann, replacements 2001b]. Zur Lösung dieses Problems wird in [Hofmann, 2001b; Hofmann
et al. , 2002b] mit vorgeschlagen, anstelle des Polynomansatzes ein statisches Neuronales
Netz zu verwenden. Basierend auf den Darstellungen in [Hofmann, 2001b] wird
dieses Vorgehen im Folgenden kurz skizziert.
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F ˆ(s) Abb. 6.1: Hammerstein-Modell mit Eingang u, Ausgang ˆy und Zwischengröße ˆv
Das Hammerstein-Modell in Abbildung 6.1 kann durch Gleichungen für die statische