Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

mit
54 3 Identifikation nichtlinearer Systeme
ˆ 1
b
z
ĉ T
ˆx[k + 1] ˆx[k]
u[k] ˆy[k]
ˆK
NL
Abb. 3.5: Diskrete Zustandsbeschreibung
Das in Abbildung 3.1 enthaltene Differentiationsglied stellt bei dieser Betrachtung
einen Sonderfall dar, der in Kapitel 4 näher betrachtet wird. Um diesen Sonderfall
später berücksichtigen zu können, wird im Allgemeinen davon ausgegangen, dass die
Anzahl nd der diskreten Zustände ˆx[k] ungleich der Anzahl n der kontinuierlichen
Zustände x sein kann.
3.1.4 Partielle Ableitungen
Aus der diskreten Zustandsbeschreibung können die partiellen Ableitungen ∇ˆy zur
Implementierung des Lerngesetzes aus Gleichung (3.3) berechnet werden.
Da sich der Systemausgang ˆy[k] aus den aktuellen Zuständen ˆx[k] berechnet, wird
zur Bestimmung der partiellen Ableitungen die diskrete Zustandsbeschreibung um
einen Abtastschritt verschoben, wodurch eine explizite Gleichung zur Berechnung
der aktuellen Zustände ˆx[k] entsteht
ˆx[k] = Â · ˆx[k − 1] + ˆ b · u[k − 1] + ˆK · NL (u[k − 1], ˆx[k − 1])
Diese Gleichung kann nach den Gewichen ˆwi differenziert werden.
Zur übersichtlicheren Schreibweise wird dazu neben dem bereits eingeführten Nabla–
Operator die Jacobi-Matrix ˆJ ∈ R nd×p mit nd diskreten Zuständen und p Parametern
eingeführt.
⎡
dˆx[k]
d ˆw = ˆJˆx[k]
⎢
= ⎣
(∇ˆx1[k]) T
.
(∇ˆxnd [k])T
⎤
⎥
⎦ =
Â
⎡
∂ˆx1[k]
∂ ˆw1
⎢ .
⎣ ∂ˆxnd [k]
∂ ˆw1
. . .
...
. . .
∂ˆx1[k]
⎤
∂ ˆwp
.
∂ˆxnd [k]
∂ ˆwp
⎥
⎦