Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

70 3 Identifikation nichtlinearer Systeme
des zum Luenberger-Beobachter erweiterten rekurrenten Netzes
ˆx[k+1] = Ârek·ˆx[k]+ ˆ b·u[k]− ˆ l·y[k]+ ˆK· NL(u[k], ˆx[k]) und ˆy[k] = ĉ T ·ˆx[k] (3.18)
mit
• Ârek = h · Ãbeo + I = h ·
• ˆ b = h · ˜ b,
• ˆ l = h · ˜ l,
• ˆK = h · ˜K,
• NL = ˜
NL und
• ĉ = ˜c.
à + ˜ T l · ˜c + I,
Diese Gleichungen gelten nur für die Euler-Vorwärts-Approximation der Integratoren
und müssen für exaktere Integrationsmethoden getrennt bestimmt werden.
In Abbildung 3.11 ist die Kombination des realen Systems mit dem diskreten Beobachter
über Digital-Analog- bzw. Analog-Digital-Wandler dargestellt.
3.2.2 Partielle Ableitungen
In Kapitel 3.1.4 wurde die Berechnung der partiellen Ableitungen ∇ˆy anhand der
diskreten Zustandsbeschreibung durchgeführt. Da die Beobachterrückführung ˜ l in
die Zustandsbeschreibung eingeht, muss diese bei der Berechnung der partiellen
Ableitungen berücksichtigt werden.
Wie in Kapitel 3.1.4 gezeigt wurde, entspricht die Berechnung der partiellen Ableitungen
in ihrer Struktur der Berechnung der Zustände. Im rekurrenten Netz werden
aus den aktuellen Zuständen ˆx[k] die Folgezustände ˆx[k + 1] berechnet, wobei für
die erste Berechnung die Anfangswerte 8 ˆx[0] notwendig sind. Damit ist zur programmtechnischen
Umsetzung der Zustandsbeschreibung kein expliziter Ausdruck
der aktuellen Zustände ˆx[k] erforderlich.
Diese Überlegungen können auf die Berechnung der partiellen Ableitungen übertragen
werden. Die Jacobi-Matrix ˆJˆx[k+1] zum folgenden Abtastschritt wird aus der
aktuellen Jacobi-Matrix ˆJˆx[k] berechnet, wobei für ˆJˆx[0] = 0 gilt, da für die Zeitschritte
k ≤ 0 keine Änderungen der Zustände ˆx und der Gewichte ˆw erfolgt sind.
8 Die Anfangswerte ˆx[0] werden üblicher Weise mit 0 gewählt, wobei von der realen Strecke
abweichende Anfangswerte durch die Beobachterrückführungen ausgeglichen werden.