Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

66 3 Identifikation nichtlinearer Systeme
der Identifikation ergibt sich jedoch schnell ein Ausgangsfehler. Entsprechend dem
Lerngesetz wird über die Lernschrittweite und den Gradienten e· ∂ ˆ Ω das Gewicht ˆw1
∂ ˆw1
so verändert, dass der Ausgangsfehler e minimiert wird. Bei ca. 40 Sekunden hat das
Gewicht des rekurrenten Netzes den tatsächlichen Wert des Parameters erreicht. Bis
zu diesem Zeitpunkt verringert sich auch die Amplitude des Ausgangsfehlers. Der
Ausgangsfehler ist jedoch nicht zu Null geworden, weshalb das Gewicht ˆw1 weiter
adaptiert wird.
Im Integrator des rekurrenten Netzes bleibt durch die vergangene Abweichung zwischen
Strecke und rekurrentem Netz ein Fehler zurück. Da sich der Gradient aus
dem Produkt von Ausgangsfehler und partieller Ableitung des Ausgangs nach dem
Gewicht ˆw1 berechnet, kann der Gradient nur dann zu Null werden (und damit den
Lernvorgang stoppen), wenn entweder der Ausgangsfehler oder der Term mit den
partiellen Ableitungen zu Null werden. Tatsächlich entspricht die Berechnung der
partiellen Ableitungen, wie aus Abbildung 3.7 ersichtlich ist, der Berechnung des
Systemausgangs. Damit ist ∂ ˆ Ω
∂ ˆw1
solange von Null verschieden, solange die geschätzte
Winkelgeschwindigkeit ˆ Ω nicht zu Null wird. Durch die externe Anregung des Systems
wird jedoch erreicht, dass ˆ Ω nicht zu Null wird. Es verbleibt nur die Möglichkeit
ein stabiles Lernergebnis zu erreichen, indem sichergestellt wird, dass der Ausgangsfehler
zu Null wird, wenn die richtigen Parameter identifiziert sind.
Aus diesem Grund muss das bisher beschriebene Verfahren dahingehend erweitert
werden, dass der Ausgangsfehler tatsächlich zu Null werden kann.
Eine Variante zur Lösung dieser Problematik ist, die einzelnen Zustände des rekurrenten
Netzes in regelmäßigen Intervallen so zu berechnen, dass der Ausgangsfehler
Null wird. Im vorliegenden Beispiel bedeutet dies, die geschätzte Winkelgeschwindigkeit
ˆ Ω auf den wahren Wert der Winkelgeschwindigkeit Ω zu setzen. Tatsächlich
sind reale Systeme aber wesentlich komplexer als dieses einfache Beispiel. Damit
wird die Berechnung der einzelnen Zustände (bzw. Neuronen des rekurrenten Netzes)
sehr aufwendig und stellt eine zusätzliche Fehlerquelle bei der Umsetzung der
Identifikation dar.
In [Brychcy, 2000] wird dieses Problem gelöst, indem die Zustände des rekurrenten
Netzes iterativ und von der eigentlichen Paramteridentifikation getrennt, bestimmt
werden. Ein Online-Training ist bei dieser Vorgehensweise jedoch nicht möglich.
Eine wesentlich elegantere Lösung ist, das rekurrente Netz zu einem Luenberger-
Beobachter zu erweitern. Dadurch wird zum einen die Anfangswertproblematik
gelöst, und zum anderen werden die Zustände so nachgeführt, dass der Ausgangsfehler
klein bleibt und stationär zu Null wird. Mit dieser Erweiterung ist es möglich,
eine stabile Identifikation einer global integrierenden Strecke aufzubauen.