Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...
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158 6 <strong>Identifikation</strong> von dynamischen Nichtlinearitäten<br />
tivierungsfunktion in das Ausgangssignal ein. Interpretiert man jedoch die Aktivierungsfunktionen<br />
ANL,1(u) . . . ANL,r(u) als Eingangssignale, so kann durch einen<br />
Koeffizientenvergleich wieder eine Analogie zur Volterra-Reihe hergestellt werden.<br />
Entsprechend der Elemente der Volterra-Kerne erhält man für 1 ≤ i ≤ m<br />
ˆg1[i] = ˆ ΘNL,1 ˆ h[i]<br />
ˆg2[i] = ˆ ΘNL,2 ˆ h[i]<br />
.<br />
ˆgr[i] = ˆ ΘNL,r ˆ h[i]<br />
(6.4)<br />
In Gleichung (6.4) wurde bereits berücksichtigt, dass für das Hammerstein-Modell<br />
nur die Diagonalelemente der Volterra-Kerne besetzt sind. Der Parameter ˆg0, der<br />
den System-Offset beschreibt, entfällt bei dieser Vorgehensweise, da das statische<br />
Neuronale Netz den System-Offset automatisch lernt.<br />
Zur Reduktion der Parameteranzahl, die bei diesem Ansatz p = r · m beträgt,<br />
werden analog zum Polynomansatz orthonormale Basisfunktionen eingeführt. Für<br />
die Approximation der Gewichtsfolgen durch Basisfunktionen muss zunächst ein<br />
dynamischer Aktivierungsvektor A dyn gebildet werden. Dieser Aktivierungsvektor<br />
enthält die Aktivierungsfunktionen ANL,1(u) . . . ANL,r(u) zu den Eingangssignalen<br />
u[k − 1] . . . u[k − m], welche zusätzlich <strong>mit</strong> der orthonormierten Basisfunktionenmatrix<br />
˜R multipliziert werden. Dies kann wie folgt dargestellt werden<br />
A T dyn[k] =<br />
<strong>mit</strong> den Aktivierungsvektoren<br />
<br />
A T 1 [k] · ˜R T , A T 2 [k] · ˜R T , . . . , A T r [k] · ˜R T<br />
<br />
A T 1 [k] = [ANL,1(u[k − 1]), ANL,1(u[k − 2]), . . . , ANL,1(u[k − m])]<br />
.<br />
A T<br />
r [k] = [ANL,r(u[k − 1]), ANL,r(u[k − 2]), . . . , ANL,r(u[k − m])]<br />
Für das Hammerstein-Modell ergibt sich so<strong>mit</strong> folgender Ansatz<br />
(6.5)<br />
ˆy[k] = ˆ Θ T<br />
dyn · A dyn[k] (6.6)<br />
Der Parametervektor ˆ Θ dyn enthält hierbei die reduzierten 3 Gewichtsfolgen und kann<br />
nach der Zugehörigkeit der einzelnen Parameter zu den entsprechenden Stützstellen<br />
3 Die eingeführten Basisfunktionen werden <strong>mit</strong> ˆ Θdyn gewichtet, um die Parameter der zu approximierenden<br />
Gewichtsfolge zu reduzieren. Daher wird an dieser Stelle von einer reduzierten<br />
Gewichtsfolge gesprochen.
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