Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

3.1 Strukturierte rekurrente Netze 53
die zu identifizierende Strecke. Die Werte der Elemente können aber unterschiedlich
sein und entsprechen den Werten des Parametervektors ˆw. Diese Beschreibung ist
notwendig, da die Parameter der Strecke zunächst unbekannt sind und im weiteren
Verlauf identifiziert werden sollen. Der Auskopplungsvektor c stellt dabei eine
Ausnahme dar, da die Berechnung der partiellen Ableitungen davon ausgeht, dass
die Elemente des Auskopplungsvektors bekannt sind. Dies stellt bei realen Systemen
praktisch keine Einschränkung dar, da der Systemausgang bei realen Anwendungen
einem Zustand des Systems entspricht. Damit wird die Beziehung ˜c = c für die
Berechnung der partiellen Ableitungen vorausgesetzt.
Die Funktionen im Vektor ˜
NL sind durch statische Funktionsapproximatoren ersetzt.
Mit der Rechteckapproximation der Integratoren gilt für einen Zustand des rekurrenten
Netzes ˆxi[k] die Beziehung
ˆxi[k + 1] = h · ûint[k] + ˆxi[k]
Wird diese Gleichung auf alle Zustände erweitert, ergibt sich mit den Bedingungen
ˆx[k] = ˜x[k] und ûint[k] = Ã · ˜x[k] + ˜b · u[k] + ˜K · ˜ NL(u[k], ˜x[k]), die für kleine
Abtastzeiten h gelten5 , die Gleichung
ˆx[k + 1] = h · Ã · ˆx[k] + ˜b · u[k] + ˜K · ˜
NL(u[k], ˆx[k]) + ˆx[k]
Durch Zusammenfassen kann diese Gleichung auf die Form
ˆx[k + 1] = h · Ã + I ·ˆx[k] + h ·
Â
˜b ·u[k] + h · ˜K
·
ˆ ˆK
b
˜ NL(u[k], ˆx[k])
gebracht werden. Dies ergibt die diskrete Zustandsbeschreibung
ˆx[k + 1] = Â · ˆx[k] + ˆ b · u[k] + ˆK · NL(u[k], ˆx[k]) und ˆy[k] = ĉ T · ˆx[k] (3.5)
mit
• Â = h · Ã + I
• ˆ b = h · ˜ b,
• ˆK = h · ˜K,
• NL = ˜
NL und
• ĉ = ˜c = c.
Diese Gleichungen gelten nur für die Euler-Vorwärts-Approximation der Integratoren
und müssen für andere Methoden der numerischen Integration getrennt bestimmt
werden [Nossek, 1997].
Die Gleichungen (3.5) sind in Abbildung 3.5 graphisch dargestellt.
5 Mathematisch exakt gelten diese Bedingungen für den Grenzübergang h → 0.