Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

6.2 Hammerstein-Modell und statische Neuronale Netze 157
Nichtlinearität NL(u) und das lineare dynamische System ˆ F (s) beschrieben werden.
Für die statische Nichtlinearität wird anstelle des bisher verwendeten Polynomansatzes
nun ein GRNN 1 verwendet.
Aus Gleichung 2.24 ergibt sich nun
ˆv = NL(u) = ˆ Θ T
NL · ANL(u) = ˆΘNL,1ANL,1(u) + . . . + ˆ
ΘNL,rANL,r(u)
(6.1)
Gleichung (6.1) entspricht der in Kapitel 2.3.3 eingeführten kompakten Schreibweise
für das GRNN 2 .
Mit der Antwortlänge m kann der lineare dynamische Systemanteil weiterhin durch
die Faltungssumme beschrieben werden
ˆy[k] =
m
ˆh[i]ˆv[k − i] (6.2)
i=1
Setzt man Gleichung (6.1) in (6.2) ein, erhält man
ˆy[k] = ˆ ΘNL,1
m
ˆh[i]ANL,1(u[k − i]) + . . . + ˆ ΘNL,r
i=1
m
ˆh[i]ANL,r(u[k − i]) (6.3)
Vergleicht man Gleichung (6.3) mit der Volterra-Reihe (Gleichung (2.19)),
ˆy[k] = ˆg 0 + ∞
+ ∞
.
i1=0
∞
i1=0 i2=0
+ ∞
∞
i1=0 i2=0
ˆg[i1] u[k − i1]
ˆg[i1, i2] u[k − i1] u[k − i2]
· · · ∞
iq=0
i=1
ˆg[i1, i2, . . . , iq] u[k − i1] u[k − i2] · · · u[k − iq]
sieht man, dass diese nicht mehr exakt ineinander überführt werden können. Anders
als bei dem Polynomansatz geht die Eingangsgröße u als Argument der Ak-
1 Da das GRNN aus regelungstechnischer Sicht am bedeutsamsten ist, wird es an dieser Stelle
verwendet. Der Ansatz kann aber ohne weiteres auf die anderen in Kapitel 2 beschriebenen
statischen Neuronalen Netze angewendet werden.
2 Der Index NL wird an dieser Stelle der Übersicht halber eingeführt.