Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

30 2 Statische und dynamische Neuronale Netze
sind sie im Parametervektor der Messgleichung enthalten. Betrachtet man einen stabilen
Prozess, bei dem die Gewichtsfolge z. B. nach 50 Abtastschritten abgeklungen
ist, wird die Antwortlänge zu m = 50 festgelegt. In diesem Beispiel müssen dann 50
Gewichtsfolgenwerte bzw. Parameter geschätzt werden. In Abbildung 2.19 ist dies
schematisch dargestellt. Die Gewichtsfolge wird hier durch 50 diskrete Werte (für
jeden Abtastschritt ein Wert) beschrieben.
PSfrag replacements
ˆh[i]
0 10 20
i
30 40 50
Abb. 2.19: Gewichtsfolge schematisch dargestellt durch Stützwerte
Die Idee der Basisfunktionen besteht nun darin, die Gewichtsfolge nicht durch ihre
einzelnen Stützwerte zu charakterisieren, sondern diese durch eine Überlagerung
bzw. als Summe gewichteter Funktionen darzustellen [Kurth, 1994]. Dabei ist die
Anzahl der Gewichte der Basisfunktionen wesentlich geringer als die Anzahl der
Stützwerte, die die Gewichtsfolge beschreiben.
Bei der Wahl geeigneter Basisfunktionen ist grundsätzlich darauf zu achten, dass sie
dem Verlauf der Gewichtsfolge entsprechen. In der Literatur [Wellers und Kositza,
1999] werden abhängig von der Systemdynamik unterschiedliche Basisfunktionen
vorgeschlagen. Laguerre-Funktionen eignen sich besonders für stark gedämpfte
Prozesse, Kautz-Funktionen stellen eine Alternative für schwach gedämpfte Prozesse
dar. In dieser Arbeit werden die von [Killich, 1991] entwickelten orthonormalisierten
verzerrten Sinusfunktionen verwendet, da sich mit ihnen sowohl stark als
auch schwach gedämpfte Prozesse beschreiben lassen und dies die Forderung nach
Allgemeingültigkeit eines Identifikationsverfahrens erfüllt. Die verzerrten Sinusfunktionen
werden folgendermaßen berechnet
rj[i] = 1
sin j · π · 1 − e m
2
i−0,5
− ζ
j = 1, . . . , mr i = 1, . . . , m (2.28)
In dieser Gleichung ist m die bekannte Antwortlänge. ζ ist der Formfaktor mit dem
der Grad der Verzerrung eingestellt werden kann. Durch ihn ist die Anpassung der
Basisfunktionen an die Dynamik des Prozesses möglich. Mit mr wird schließlich