Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

28 2 Statische und dynamische Neuronale Netze
PSfrag replacements
2.5.1 Das Hammerstein-Modell im Ansatz der Volterra-Reihe
u ˆv ˆy
NL(u)
F ˆ(s) Abb. 2.18: Hammerstein-Modell mit Eingang u, Ausgang ˆy und Zwischengröße ˆv
Werden die in Abbildung 2.18 verwendeten Formelzeichen für die Ein- und Ausgangsgrößen
des Hammerstein-Modells benutzt, so ergeben sich die Beschreibungen
der Subsysteme zu
ˆv = NL(u) = â0 + â1u + â2u 2 + · · · + âqu q
(2.24)
m
ˆy[k] = ˆh[i]ˆv[k − i] (2.25)
i=1
Durch Einsetzten des Polynoms der statischen Nichtlinearität (Gleichung (2.24)) in
die Faltungssumme (Gleichung (2.25)) kann das Ergebnis in folgender Form, die in
der Schreibweise an die Volterra-Reihe angepasst ist, dargestellt werden
ˆy[k] = ˆg0 +
m
ˆg[i]u[k − i] +
i=1
m
ˆg[i, i]u 2 [k − i] + · · · +
i=1
m
ˆg[ i, . . . , i ]u
q−mal
q [k − i] (2.26)
Vergleicht man Gleichung (2.26) mit dem Ansatz der Volterra-Reihe (Gleichung
(2.19)), fällt auf, dass die Kerne höheren Grades nur auf der Hauptdiagonalen besetzt
sind, was durch die besondere Indizierung der Kerne (ˆg[i, . . . , i]) angedeutet
wird. Deshalb lassen sich die Kerne höheren Grades, wie auch der lineare Kern durch
Einfachsummen beschreiben. Durch einen Koeffizientenvergleich erhält man den Zusammenhang
der Parameter zwischen den angesetzten Gleichungen (2.24) und (2.25)
und der oben dargestellten Form (2.26).
ˆg0 = â0
m
i=1
ˆg[i] = â1 ˆ h[i]
ˆg[i, i] = â2 ˆ h[i]
.
ˆg[i, . . . , i] = âq ˆ h[i]
ˆh[i]
i=1
(2.27)